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一、 二次函数在初中数学中的重要地位
函数是一种重要的数学知识，同时还是一种重要的数学思想.它是贯串初中数学的一条主线.而二次函数是函数中的重点，也是初中数学的重点与难点，因此在中考中占有重要地位.它不仅分值所占比例高，而且题型也灵活多变，既有选择题、填空题，又有解答题，而且常与其他知识结合在一起，出现在压轴题中.
而在解答函数题目的时候，我们又经常利用图像与系数的关系，巧用数形结合的思想来分析解决问题.
二、 图像与系数的关系
二次函数的一般形式写作y=ax+bx+c（a≠0），其中，a、b、c分别为二次项系数、一次项系数和常数项.
二次函数的图像是对称轴平行于y轴的一条抛物线.它的开口方向与系数a有关.当a > 0时，抛物线开口向上；a < 0时，抛物线开口向下.且当a越大时，抛物线的开口越大，反之越小.
系数b和a共同决定着抛物线的对称轴（x=－）.
当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧.特别的，当b=0时，抛物线的对称轴即为y轴.
当a > 0时，对称轴左侧（x<－时），y随x的增大而减小；对称轴右侧（x>－时），y随x的增大而增大.
当a < 0时，对称轴左侧（x<－时），y随x的增大而增大；对称轴右侧（x>－时），y随x的增大而减小.
系数c的正负决定着抛物线与y轴的交点.当c是正数时，抛物线与y轴交于正半轴；当c是负数时，抛物线与y轴交于负半轴.当c是0时，抛物线与y轴交于原点.
a、b、c三个系数共同决定了抛物线的顶点、最值以及与x轴的交点个数.一般形式的二次函数的图像顶点可写作(－,).当a > 0时，抛物线有最低点，二次函数有最小值.当x=－时，?摇y=?摇；反之，当a < 0时，抛物线有最高点，二次函数有最大值.当x=－时， y=.
二次函数与x轴的交点，即为一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的解（相同的解算作一个）.因此，我们有：当b-4ac>0时，与x轴有两个交点；当b-4ac=0时，与x轴有一个交点；当b-4ac<0时，与x轴没有交点.
三、 一次函数、反比例函数图像与系数的关系
1. 一次函数的图像与系数的关系
一次函数的一般形式是y=kx+b（k≠0）.特别的，当b=0，即y=kx时，称为正比例函数.
一次函数的图像是一条直线.
k的正负决定着直线的倾斜方向.当k > 0时，直线向右上方倾斜；当k < 0时，直线向右下方倾斜.
b的正负决定着直线与y轴的交点.当b>0时，直线与y轴交于正半轴；当b < 0时，直线与y轴交于负半轴.当b=0时，直线与y轴交于原点.
k和b共同决定着直线与x轴的交点，交点坐标为（－,0）.
2. 反比例函数的图像与系数的关系
反比例函数的一般形式是 y=（k≠0）.
当k > 0时，反比例函数图像在一、三像限；当k < 0时，反比例函数图像在二、四像限.
四、 例题
利用以上三种函数的系数与图像的关系，我们可以来解决一些图形问题.
例1如图，在同一坐标系中，二次函数y=ax+c与一次函数y=ax+c的图像大致是（）
分析首先考虑系数a.
当a > 0时，二次函数开口向上，一次函数向右上方倾斜.反之，当a < 0时，二次函数开口向下，一次函数向右下方倾斜.所以可以排除A、B.
其次考虑系数c.
我们知道系数c决定的是图像与y轴交点的位置.当c>0时，二次函数与一次函数与y轴均相交于正半轴.反之，当c<0时，两种函数与y轴均相交于负半轴.且由于数值均是c，所以两种函数与y轴的交点是同一个.因此可排除C，进而选择D.
例2已知y=ax+bx的图像如下图所示，则y=ax－b的图像一定过（）
A． 第一、二、三像限
B． 第一、二、四像限
C． 第二、三、四像限
D． 第一、三、四像限
分析由二次函数的图像可得到如下性质：
1. 开口向下，所以a < 0；
2. 与y轴相交于负半轴，所以c < 0；
3. 对称轴在y轴右方，所以由“左同右异”知，b>0；
在一次函数中，一次项系数和常数分别为a和-b（特别要注意常数项的正负），所以由a<0知，一次函数向右下倾斜.由b>0，即b<0知，一次函数与y轴相交于负半轴.因此，y=ax－b的图像必过第二、三、四像限.选C.
例3函数y=ax－a与y=在同一直角坐标系中的图像可能是（）
分析在二次函数y=ax－a中, 二次项系数a决定着图像的开口方向.如果a>0，则二次函数开口向上；反之，a<0时，则开口向下.常数项（-a）决定着函数图像与y轴的交点位置.-a为正，即a为负时，函数图像与y轴相交于正半轴；-a为负，即a为正时，与y轴相交于负半轴.在反比例函数y=中，常数a的正负决定着函数所在的像限.当a>0时，图像在一、三像限；当a<0时，图像在二、四像限.
综上所述，如果a>0，则二次函数y=ax－a的图像开口向上，与y轴相交于负半轴，反比例函数y=的图像在一、三像限.如果a<0，则二次函数y=ax－a的图像开口向下，与y轴相交于正半轴，反比例函数y=的图像在二、四像限.
因此，此题应选择A.
例4已知反比例函数y=的图像如右图所示，则二次函数y=2kx－x+k的图像大致为（）
分析由反比例函数的图像可得到：k<0.
所以二次函数中，二次项系数2k<0，故开口向下，排除AB.
对称轴为x=－=<0, 所以在y轴左边，故选择D.
例5已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如下图所示，则下列5个代数式：ab，ac，a－b+c，b2－4ac，2a+b中，值大于0的个数有（）
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
分析因为抛物线开口向上，所以a＞0.
因为对称轴在y轴左侧，所以a，b同号.又a＞0，故b＞0.
因为抛物线与y轴相交与负半轴，所以c<0.
因此ab＞0，ac<0．
取x=－1代入函数，则有y=a－b+c<0.
因为抛物线与x轴有两个交点，所以b2－4ac＞0.
因为对称轴x=－=－1，故有b=2a>0，所以2a+b>0.
综上所述，选择C
五、 结语
二次函数是初中数学学习的重要部分，同时也是难点所在.虽然说题目的内容是千姿百态，变化多端的，但万变不离其宗，函数总是与它的系数密切相关.在本文中，我们总结了二次函数的三个系数a、b、c的各种性质，分析了它们与函数图像的关系，为同学们学习和复习二次函数的相关知识打下了坚实的基础.
函数是一种重要的数学知识，同时还是一种重要的数学思想.它是贯串初中数学的一条主线.而二次函数是函数中的重点，也是初中数学的重点与难点，因此在中考中占有重要地位.它不仅分值所占比例高，而且题型也灵活多变，既有选择题、填空题，又有解答题，而且常与其他知识结合在一起，出现在压轴题中.
而在解答函数题目的时候，我们又经常利用图像与系数的关系，巧用数形结合的思想来分析解决问题.
二、 图像与系数的关系
二次函数的一般形式写作y=ax+bx+c（a≠0），其中，a、b、c分别为二次项系数、一次项系数和常数项.
二次函数的图像是对称轴平行于y轴的一条抛物线.它的开口方向与系数a有关.当a > 0时，抛物线开口向上；a < 0时，抛物线开口向下.且当a越大时，抛物线的开口越大，反之越小.
系数b和a共同决定着抛物线的对称轴（x=－）.
当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧.特别的，当b=0时，抛物线的对称轴即为y轴.
当a > 0时，对称轴左侧（x<－时），y随x的增大而减小；对称轴右侧（x>－时），y随x的增大而增大.
当a < 0时，对称轴左侧（x<－时），y随x的增大而增大；对称轴右侧（x>－时），y随x的增大而减小.
系数c的正负决定着抛物线与y轴的交点.当c是正数时，抛物线与y轴交于正半轴；当c是负数时，抛物线与y轴交于负半轴.当c是0时，抛物线与y轴交于原点.
a、b、c三个系数共同决定了抛物线的顶点、最值以及与x轴的交点个数.一般形式的二次函数的图像顶点可写作(－,).当a > 0时，抛物线有最低点，二次函数有最小值.当x=－时，?摇y=?摇；反之，当a < 0时，抛物线有最高点，二次函数有最大值.当x=－时， y=.
二次函数与x轴的交点，即为一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的解（相同的解算作一个）.因此，我们有：当b-4ac>0时，与x轴有两个交点；当b-4ac=0时，与x轴有一个交点；当b-4ac<0时，与x轴没有交点.
三、 一次函数、反比例函数图像与系数的关系
1. 一次函数的图像与系数的关系
一次函数的一般形式是y=kx+b（k≠0）.特别的，当b=0，即y=kx时，称为正比例函数.
一次函数的图像是一条直线.
k的正负决定着直线的倾斜方向.当k > 0时，直线向右上方倾斜；当k < 0时，直线向右下方倾斜.
b的正负决定着直线与y轴的交点.当b>0时，直线与y轴交于正半轴；当b < 0时，直线与y轴交于负半轴.当b=0时，直线与y轴交于原点.
k和b共同决定着直线与x轴的交点，交点坐标为（－,0）.
2. 反比例函数的图像与系数的关系
反比例函数的一般形式是 y=（k≠0）.
当k > 0时，反比例函数图像在一、三像限；当k < 0时，反比例函数图像在二、四像限.
四、 例题
利用以上三种函数的系数与图像的关系，我们可以来解决一些图形问题.
例1如图，在同一坐标系中，二次函数y=ax+c与一次函数y=ax+c的图像大致是（）
分析首先考虑系数a.
当a > 0时，二次函数开口向上，一次函数向右上方倾斜.反之，当a < 0时，二次函数开口向下，一次函数向右下方倾斜.所以可以排除A、B.
其次考虑系数c.
我们知道系数c决定的是图像与y轴交点的位置.当c>0时，二次函数与一次函数与y轴均相交于正半轴.反之，当c<0时，两种函数与y轴均相交于负半轴.且由于数值均是c，所以两种函数与y轴的交点是同一个.因此可排除C，进而选择D.
例2已知y=ax+bx的图像如下图所示，则y=ax－b的图像一定过（）
A． 第一、二、三像限
B． 第一、二、四像限
C． 第二、三、四像限
D． 第一、三、四像限
分析由二次函数的图像可得到如下性质：
1. 开口向下，所以a < 0；
2. 与y轴相交于负半轴，所以c < 0；
3. 对称轴在y轴右方，所以由“左同右异”知，b>0；
在一次函数中，一次项系数和常数分别为a和-b（特别要注意常数项的正负），所以由a<0知，一次函数向右下倾斜.由b>0，即b<0知，一次函数与y轴相交于负半轴.因此，y=ax－b的图像必过第二、三、四像限.选C.
例3函数y=ax－a与y=在同一直角坐标系中的图像可能是（）
分析在二次函数y=ax－a中, 二次项系数a决定着图像的开口方向.如果a>0，则二次函数开口向上；反之，a<0时，则开口向下.常数项（-a）决定着函数图像与y轴的交点位置.-a为正，即a为负时，函数图像与y轴相交于正半轴；-a为负，即a为正时，与y轴相交于负半轴.在反比例函数y=中，常数a的正负决定着函数所在的像限.当a>0时，图像在一、三像限；当a<0时，图像在二、四像限.
综上所述，如果a>0，则二次函数y=ax－a的图像开口向上，与y轴相交于负半轴，反比例函数y=的图像在一、三像限.如果a<0，则二次函数y=ax－a的图像开口向下，与y轴相交于正半轴，反比例函数y=的图像在二、四像限.
因此，此题应选择A.
例4已知反比例函数y=的图像如右图所示，则二次函数y=2kx－x+k的图像大致为（）
分析由反比例函数的图像可得到：k<0.
所以二次函数中，二次项系数2k<0，故开口向下，排除AB.
对称轴为x=－=<0, 所以在y轴左边，故选择D.
例5已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如下图所示，则下列5个代数式：ab，ac，a－b+c，b2－4ac，2a+b中，值大于0的个数有（）
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
分析因为抛物线开口向上，所以a＞0.
因为对称轴在y轴左侧，所以a，b同号.又a＞0，故b＞0.
因为抛物线与y轴相交与负半轴，所以c<0.
因此ab＞0，ac<0．
取x=－1代入函数，则有y=a－b+c<0.
因为抛物线与x轴有两个交点，所以b2－4ac＞0.
因为对称轴x=－=－1，故有b=2a>0，所以2a+b>0.
综上所述，选择C
五、 结语
二次函数是初中数学学习的重要部分，同时也是难点所在.虽然说题目的内容是千姿百态，变化多端的，但万变不离其宗，函数总是与它的系数密切相关.在本文中，我们总结了二次函数的三个系数a、b、c的各种性质，分析了它们与函数图像的关系，为同学们学习和复习二次函数的相关知识打下了坚实的基础.