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数学学习强调经历学习过程，注重学习的探究与合作，一题多解能够很好地体现学习过程中的自主探究，有利于培养思维的广阔性、灵活性和敏捷性.一题多解是找到多题一解的一种好办法，也是反思解题思想、解题方法、解题思维、解题模式、解题规律、解题策略的有效途径. 解法多样，方法常规，淡化技巧，体现通法，结论靓丽，引领学生对问题进行探究，加深对问题的理解，对教学起着积极的导向作用，是教学中不可多得的探究载体.
题目1(2013年上海市春季高考)如图1,某校有一块形如直角三角形
ABC的空地,其中∠B为直角,AB长40米, BC长50米,现欲在此空地上建造一间健身房,其占地形状为矩形,且B为矩形的一个顶点,求该健身房的最大占地面积.
解法1: （配方法）如图2,设矩
形为EBFP, FP长为x米,其中0 健身房占地面积为y平方米.因为△CFP∽△CBA,所
以FP BA=CF CB,
x 40=50-BF 50
,求得BF=50-5 4x.
从而S矩形=y=BF•FP=(50-5 4x)x=-
5 4x2+50x=-5 4(x-20)2+
500≤500,
当且仅当x=20时,等号成立.
解法2 :（二次函数法）由解法一可知S矩形=（
50-5 4x）x=-5 4x2+50x.由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标(-b 2a,
4ac-b2 4a )，可知x=
-b 2a 时，函数ax2+bx+c（a≠0）取最值.因而当x=
-50 2×(-5 4))
=20时，矩形面积最大.S矩形=-5 4x2+50x=
-5 4×202+50×20=500 m2.
解法3 :（不等式法）由不等式
ab≤(a+b 2)2,当且仅当a=b时,ab取最大值(
a+b 2)2.
因此由解法1知S矩形=BF×FP=（50-
5 4x）x＝4 5（
50-5 4x） 5 4x≤
4 5 (50-5 4x+
5 4x 2)2=500
,当且仅当5 4x=50－5 4x，即x=20时，（
50-5 4x）x取最大值，即矩形面积最大为500 m2.
解法4: （导数法）由解法1可知S矩形=-
5 4x2+50x，即y =-5 4x2+50x.求导知，y′=-5 2x+50,当5 2x=50时函数有最值，即x=20时，矩形面积最大.S矩形=-5 4x2+50x=
-5 4×202+50×20=500 m2.
解法5 :（逆向思维）本题也可逆向思维求解其余三角形面积的最小值.由以底边长为x的三角形和原三角形相似，即△CFP∽△CBA,
所以FC BC〖SX)]=BF AB,FC 50
=x 40,
FC=5 4x
S△AEP=1 2AE×EP=
1 2（40－x）(50－
5 4x)=1 2(2000-100x+5 4
x2).
S和= S△CFP+ S△AEP=
5 8x2+1 2(2000-100x+
5 4x2)=
5 4x2－50x+1000=
=5 4(x－20)2+500
当且仅当x=20时，S和最小，即矩形面积最大，S矩形=x×(50－FC)= x×(50－
5 4x)=20×(50－5 4×20)=500 m2.
题目2 （2013年陕西高考（文））在如图3所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为(m).
解法1: （配方法）假设矩形花园的另一边长为y,由题意可知以底边长为x的三角形和原三角形相似，则有
x 40=40-y 40,即x=40－y，则有 y=40－x，S矩形=xy=x（40－x）=40x－x2=－x2+40x=－（x－20）2+400.所以当且仅当x=20时，－（x－20）2+400有最大值，即矩形面积最大.
解法2: （二次函数法）由解法1可知S矩形=xy=x（40－x）=40x－x2=－x2+40x，由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标(
-b 2a,4ac-b2 4a)，可知x=
-b 2a 时，函数ax2+bx+c（a≠0）取最值，因而S矩形=－x2+40x，当x=-40 2×(-1)=20时，矩形面积最大.
解法3 :（不等式法）由不等式ab≤
(a2+b2 2)2,当且仅当a=b时，ab
取最大值(a+b 2)2.
因此由解法1知S矩形=xy=x（40－x）≤(x+40-x 2)2=400,当且仅当x=40－x，即x=20时，x（40－x）取最大值，即矩形面积最大.
解法4: （导数法）由解法1可知S矩形=－x2+40x，令－x2+40x =y,求导知，y′=－2x+40,即2x=40时函数有最值，即x=20时，矩形面积最大.
数学学习强调探究过程，在过程中体验，在过程中感悟，理解数学需要过程，过程是理解数学的必经之路.数学学习也强调一题多解，通过多方位、多角度、多途径、多方式观察和解决问题，能够激发学习数学的热情，能够进一步增强对数学基本概念的理解，能够提高处理数学问题的能力，能够指引我们找到多题一解的简捷通法.因此，我们在平时学习数学的过程中，要善于多视角、多方面、全方位地分析思考问题，以达到拓宽思路、提高灵活解决数学问题的能力、发展创新思维的目的.
题目1(2013年上海市春季高考)如图1,某校有一块形如直角三角形
ABC的空地,其中∠B为直角,AB长40米, BC长50米,现欲在此空地上建造一间健身房,其占地形状为矩形,且B为矩形的一个顶点,求该健身房的最大占地面积.
解法1: （配方法）如图2,设矩
形为EBFP, FP长为x米,其中0
以FP BA=CF CB,
x 40=50-BF 50
,求得BF=50-5 4x.
从而S矩形=y=BF•FP=(50-5 4x)x=-
5 4x2+50x=-5 4(x-20)2+
500≤500,
当且仅当x=20时,等号成立.
解法2 :（二次函数法）由解法一可知S矩形=（
50-5 4x）x=-5 4x2+50x.由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标(-b 2a,
4ac-b2 4a )，可知x=
-b 2a 时，函数ax2+bx+c（a≠0）取最值.因而当x=
-50 2×(-5 4))
=20时，矩形面积最大.S矩形=-5 4x2+50x=
-5 4×202+50×20=500 m2.
解法3 :（不等式法）由不等式
ab≤(a+b 2)2,当且仅当a=b时,ab取最大值(
a+b 2)2.
因此由解法1知S矩形=BF×FP=（50-
5 4x）x＝4 5（
50-5 4x） 5 4x≤
4 5 (50-5 4x+
5 4x 2)2=500
,当且仅当5 4x=50－5 4x，即x=20时，（
50-5 4x）x取最大值，即矩形面积最大为500 m2.
解法4: （导数法）由解法1可知S矩形=-
5 4x2+50x，即y =-5 4x2+50x.求导知，y′=-5 2x+50,当5 2x=50时函数有最值，即x=20时，矩形面积最大.S矩形=-5 4x2+50x=
-5 4×202+50×20=500 m2.
解法5 :（逆向思维）本题也可逆向思维求解其余三角形面积的最小值.由以底边长为x的三角形和原三角形相似，即△CFP∽△CBA,
所以FC BC〖SX)]=BF AB,FC 50
=x 40,
FC=5 4x
S△AEP=1 2AE×EP=
1 2（40－x）(50－
5 4x)=1 2(2000-100x+5 4
x2).
S和= S△CFP+ S△AEP=
5 8x2+1 2(2000-100x+
5 4x2)=
5 4x2－50x+1000=
=5 4(x－20)2+500
当且仅当x=20时，S和最小，即矩形面积最大，S矩形=x×(50－FC)= x×(50－
5 4x)=20×(50－5 4×20)=500 m2.
题目2 （2013年陕西高考（文））在如图3所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为(m).
解法1: （配方法）假设矩形花园的另一边长为y,由题意可知以底边长为x的三角形和原三角形相似，则有
x 40=40-y 40,即x=40－y，则有 y=40－x，S矩形=xy=x（40－x）=40x－x2=－x2+40x=－（x－20）2+400.所以当且仅当x=20时，－（x－20）2+400有最大值，即矩形面积最大.
解法2: （二次函数法）由解法1可知S矩形=xy=x（40－x）=40x－x2=－x2+40x，由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标(
-b 2a,4ac-b2 4a)，可知x=
-b 2a 时，函数ax2+bx+c（a≠0）取最值，因而S矩形=－x2+40x，当x=-40 2×(-1)=20时，矩形面积最大.
解法3 :（不等式法）由不等式ab≤
(a2+b2 2)2,当且仅当a=b时，ab
取最大值(a+b 2)2.
因此由解法1知S矩形=xy=x（40－x）≤(x+40-x 2)2=400,当且仅当x=40－x，即x=20时，x（40－x）取最大值，即矩形面积最大.
解法4: （导数法）由解法1可知S矩形=－x2+40x，令－x2+40x =y,求导知，y′=－2x+40,即2x=40时函数有最值，即x=20时，矩形面积最大.
数学学习强调探究过程，在过程中体验，在过程中感悟，理解数学需要过程，过程是理解数学的必经之路.数学学习也强调一题多解，通过多方位、多角度、多途径、多方式观察和解决问题，能够激发学习数学的热情，能够进一步增强对数学基本概念的理解，能够提高处理数学问题的能力，能够指引我们找到多题一解的简捷通法.因此，我们在平时学习数学的过程中，要善于多视角、多方面、全方位地分析思考问题，以达到拓宽思路、提高灵活解决数学问题的能力、发展创新思维的目的.