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原题：四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD=60°，∠BDＣ=４５°，PD垂直底面ABCD，PD=２Ｒ，E、F分别是PB, CD上的点，且＝，过点E作BC的平行线交PC于G. （1）求BD与平面ABP所成角的正弦值；（2）证明：△EFG是直角三角形；（3）当＝时，求△EFG的面积.
下面，分别就本题的典型解法、试题特点、考生的典型错误和教学思考谈谈我们的一些看法.
一、解法介绍
1. 坐标法
（1）由BD是直径知AD⊥AB.故｜｜=2Rcos60°=R，｜｜＝Ｒ.过点A作平面ABC的垂线l ，以A为原点，，分别为x，y轴的正向，l向上方向为z轴正向，建立坐标系，则有A（０，０，０），B（Ｒ，０，０），
Ｄ（０，Ｒ，０），Ｐ（０，Ｒ， ２Ｒ）.设平面ABP的法向量=（x，y，z），由⊥，⊥ ，=（Ｒ，０，０），=（０，Ｒ， ２Ｒ）得
Ｒx=0Ry+2Rz=0. 取z= =（０，－２，）.又 =（－Ｒ，Ｒ，０），所以，sin=
cos〈，〉=/11.
（2）设＝=，则＝（，，０），＝（０，０，），所以·＝０，即⊥，故△EFG是直角三角形.
（3）当＝时，＝（，，０），于是｜｜=R.
∵ =（０，０，R），
∴ ｜｜=R. 故S△EFG=
｜｜·｜｜＝R２.
2. 几何法
（1）过点D作AP的垂线，垂足为H，连接HB，易证得HＤ⊥平面ABＰ，从而∠DBH为DB与平面ＡＢＰ所成的角. 因为△ＡＤＰ为直角三角形，所以ＡＰ＝＝Ｒ. 故ＨＤ＝＝Ｒ sin∠DBH==.
（2）先证明BC⊥平面ＰＣＤ，再由ＥＧ∥ＢＣ可得EG⊥平面ＰＣＤ，从而得证.
（3）由相似三角形的性质得ＥＧ＝ＢＣ＝Ｒ，ＦＧ＝ＰＤ＝Ｒ. 从而得解.
3. 其它解法
其中第一小问还可以用体积法求解，即由ＶＰ－ＡＢＤ＝ＶＤ－ＰＡＢ可得
h=R，于是sin==.
二、试题分析
1. 题目设置顺序
纵观全国各地以及广东历年的高考数学试题，立体几何的小问都是定位为容易题和中档题，一般放置在第二、第三个解答题的位置，从来没有把它当做压轴题的先例. 今年的破例令许多考生及教师都措手不及. 而三个小问的设置也不是按照由易到难的顺序设置，最难的被设置为第一小问，较易的却被设置为第二、第三小问. 这种非同寻常的命题顺序令考生甚为疑惑，对考生水平的正常发挥有一定的影响.
2. 题目考查内容
本题考查了线面角、线面垂直与线线垂直及其两者的关系、平面几何中关于相似比例的知识，主要考查了空间想像能力、运算能力与推理论证的能力，扮演了突出数学证明考查的角色.
3. 得分抽样统计
我们对此题做了抽样统计. 样本量为25297，平均分为3.79，标准差为4.37，难度系数为0.27. 按照本题的绝对难度，平均分估计可达6~7分，但由于被放在了压轴题的位置，故得分率很低. 其考查的有效性值得商榷.
三、典型错误
1. 概念错误
在第一小问中有相当多的考生在用坐标法求出cos〈，〉=
-后，便继续求出sin〈，〉=，这不是画蛇添足而明显是概念不清. 更有甚者，把tan〈，〉=也相继求出来，明显是搞不清楚正弦与正切的概念.
在第一小问中有一定比例的考生误认为∠PAD或者∠PBD即是BD与面ABP所成的角. 这说明这部分考生对线面角的概念理解得不够深入.
在第一小问中，也有一些考生建立坐标系不正确，左右手系的直角坐标系都有出现，但甚至也出现了建立斜坐标系的解法. 这明显暴露了学生建立坐标系知识的缺乏. 坐标轴及坐标原点的位置选择也有许多种情况，当然这是允许的.
2. 计算错误
在第一小问中，有些考生能够把各个点的坐标求出，甚至也能根据数量积列出方程组，但可能是由于数字比较繁杂或者解答时间有限等原因，并未能把法向量求出. 尽管有的考生能把法向量求出来，却未能计算出cos〈，〉的正确结果.
第一小问若用体积法，则计算较为简单，但有些考生还是不够细心，如对体积式进行代值的时候会漏掉三角形面积公式中的系数，即列成此式：·Ｒ２·２Ｒ＝·Ｒ２h.
3. 粗心错误
在第一小问中，有相当大比例的考生误认为R为直径的长度，从而导致各个点的坐标都成了错误答案，也导致后续的计算的复杂度增加. 当然，由此算出的结果都是错的. 可见，细节决定成败并不无道理.
在第三小问中，把条件=误解为“E点为PB的中点”，然后在这个基础上推理. 也竟然有一部分考生能够正确列出求S△EFG的式子并代入数值但却求出R的错误结果.
四、教学思考
1. 关于三垂线定理的取舍
很多评卷教师认为，尽管三垂线定理在新课程中已经不作为教学要求，但有些教师还会在教学中作为补充内容传授给学生. 而学过三垂线定理的学生很容易找出线面角，从而很轻易地解答了第一小问. 然而，没有学过三垂线定理的考生要成功地找出线面角是比较困难的. 也就是说，部分考生由于掌握新课程删除的内容而获益，从而在本次高考中获益，这样的导向与数学新课程的要求不符. 很多评卷教师都认为这种由于知识多少的差异，而不是能力的差异引起的得分情况有失公平. 我们深信这种情况以后会得到改善.
2. 加强基本概念、基本方法的教学
三个问中第一小问最难，难就难在如何作出一个点在平面上的射影. 对众多考生来说，理论上讲很简单，就是直接作出点在平面上的射影，但如何在图形上找到其射影所在的位置就难了. 说明教师还没有教会学生求线面所成的角的基本方法：先找到经过该点的且与已知平面垂直的平面，得到两个平面的交线，然后在找到的平面上作经过该点的交线的垂线，得到的垂足就是所求.
3. 加强运算能力的培养
由于从初中开始允许使用计算器而导致考生的计算能力下降是一个不争的事实，但是基本的运算能力还是必需的. 正如前述的典型错误中的计算错误中所看到的，部分考生对含分数、根号、负号的运算特别畏惧，而且运算速度不够快，这是一个值得注意的问题. 多年的高考已经说明，要想拿高分，运算能力是一道门槛.
4. 加强数学表达能力的培养
数学交流能力是新课程所要求学生具备的新能力. 思路清晰、条理分明、表达简明规范是良好的数学表达能力的体现，而这正是数学交流能力的最重要的内容. 不少考生在证明过程中逻辑混乱、表达不规范，使自己丢了分. 这说明考生的数学表达能力还有待提高.
责任编辑罗峰
下面，分别就本题的典型解法、试题特点、考生的典型错误和教学思考谈谈我们的一些看法.
一、解法介绍
1. 坐标法
（1）由BD是直径知AD⊥AB.故｜｜=2Rcos60°=R，｜｜＝Ｒ.过点A作平面ABC的垂线l ，以A为原点，，分别为x，y轴的正向，l向上方向为z轴正向，建立坐标系，则有A（０，０，０），B（Ｒ，０，０），
Ｄ（０，Ｒ，０），Ｐ（０，Ｒ， ２Ｒ）.设平面ABP的法向量=（x，y，z），由⊥，⊥ ，=（Ｒ，０，０），=（０，Ｒ， ２Ｒ）得
Ｒx=0Ry+2Rz=0. 取z= =（０，－２，）.又 =（－Ｒ，Ｒ，０），所以，sin=
cos〈，〉=/11.
（2）设＝=，则＝（，，０），＝（０，０，），所以·＝０，即⊥，故△EFG是直角三角形.
（3）当＝时，＝（，，０），于是｜｜=R.
∵ =（０，０，R），
∴ ｜｜=R. 故S△EFG=
｜｜·｜｜＝R２.
2. 几何法
（1）过点D作AP的垂线，垂足为H，连接HB，易证得HＤ⊥平面ABＰ，从而∠DBH为DB与平面ＡＢＰ所成的角. 因为△ＡＤＰ为直角三角形，所以ＡＰ＝＝Ｒ. 故ＨＤ＝＝Ｒ sin∠DBH==.
（2）先证明BC⊥平面ＰＣＤ，再由ＥＧ∥ＢＣ可得EG⊥平面ＰＣＤ，从而得证.
（3）由相似三角形的性质得ＥＧ＝ＢＣ＝Ｒ，ＦＧ＝ＰＤ＝Ｒ. 从而得解.
3. 其它解法
其中第一小问还可以用体积法求解，即由ＶＰ－ＡＢＤ＝ＶＤ－ＰＡＢ可得
h=R，于是sin==.
二、试题分析
1. 题目设置顺序
纵观全国各地以及广东历年的高考数学试题，立体几何的小问都是定位为容易题和中档题，一般放置在第二、第三个解答题的位置，从来没有把它当做压轴题的先例. 今年的破例令许多考生及教师都措手不及. 而三个小问的设置也不是按照由易到难的顺序设置，最难的被设置为第一小问，较易的却被设置为第二、第三小问. 这种非同寻常的命题顺序令考生甚为疑惑，对考生水平的正常发挥有一定的影响.
2. 题目考查内容
本题考查了线面角、线面垂直与线线垂直及其两者的关系、平面几何中关于相似比例的知识，主要考查了空间想像能力、运算能力与推理论证的能力，扮演了突出数学证明考查的角色.
3. 得分抽样统计
我们对此题做了抽样统计. 样本量为25297，平均分为3.79，标准差为4.37，难度系数为0.27. 按照本题的绝对难度，平均分估计可达6~7分，但由于被放在了压轴题的位置，故得分率很低. 其考查的有效性值得商榷.
三、典型错误
1. 概念错误
在第一小问中有相当多的考生在用坐标法求出cos〈，〉=
-后，便继续求出sin〈，〉=，这不是画蛇添足而明显是概念不清. 更有甚者，把tan〈，〉=也相继求出来，明显是搞不清楚正弦与正切的概念.
在第一小问中有一定比例的考生误认为∠PAD或者∠PBD即是BD与面ABP所成的角. 这说明这部分考生对线面角的概念理解得不够深入.
在第一小问中，也有一些考生建立坐标系不正确，左右手系的直角坐标系都有出现，但甚至也出现了建立斜坐标系的解法. 这明显暴露了学生建立坐标系知识的缺乏. 坐标轴及坐标原点的位置选择也有许多种情况，当然这是允许的.
2. 计算错误
在第一小问中，有些考生能够把各个点的坐标求出，甚至也能根据数量积列出方程组，但可能是由于数字比较繁杂或者解答时间有限等原因，并未能把法向量求出. 尽管有的考生能把法向量求出来，却未能计算出cos〈，〉的正确结果.
第一小问若用体积法，则计算较为简单，但有些考生还是不够细心，如对体积式进行代值的时候会漏掉三角形面积公式中的系数，即列成此式：·Ｒ２·２Ｒ＝·Ｒ２h.
3. 粗心错误
在第一小问中，有相当大比例的考生误认为R为直径的长度，从而导致各个点的坐标都成了错误答案，也导致后续的计算的复杂度增加. 当然，由此算出的结果都是错的. 可见，细节决定成败并不无道理.
在第三小问中，把条件=误解为“E点为PB的中点”，然后在这个基础上推理. 也竟然有一部分考生能够正确列出求S△EFG的式子并代入数值但却求出R的错误结果.
四、教学思考
1. 关于三垂线定理的取舍
很多评卷教师认为，尽管三垂线定理在新课程中已经不作为教学要求，但有些教师还会在教学中作为补充内容传授给学生. 而学过三垂线定理的学生很容易找出线面角，从而很轻易地解答了第一小问. 然而，没有学过三垂线定理的考生要成功地找出线面角是比较困难的. 也就是说，部分考生由于掌握新课程删除的内容而获益，从而在本次高考中获益，这样的导向与数学新课程的要求不符. 很多评卷教师都认为这种由于知识多少的差异，而不是能力的差异引起的得分情况有失公平. 我们深信这种情况以后会得到改善.
2. 加强基本概念、基本方法的教学
三个问中第一小问最难，难就难在如何作出一个点在平面上的射影. 对众多考生来说，理论上讲很简单，就是直接作出点在平面上的射影，但如何在图形上找到其射影所在的位置就难了. 说明教师还没有教会学生求线面所成的角的基本方法：先找到经过该点的且与已知平面垂直的平面，得到两个平面的交线，然后在找到的平面上作经过该点的交线的垂线，得到的垂足就是所求.
3. 加强运算能力的培养
由于从初中开始允许使用计算器而导致考生的计算能力下降是一个不争的事实，但是基本的运算能力还是必需的. 正如前述的典型错误中的计算错误中所看到的，部分考生对含分数、根号、负号的运算特别畏惧，而且运算速度不够快，这是一个值得注意的问题. 多年的高考已经说明，要想拿高分，运算能力是一道门槛.
4. 加强数学表达能力的培养
数学交流能力是新课程所要求学生具备的新能力. 思路清晰、条理分明、表达简明规范是良好的数学表达能力的体现，而这正是数学交流能力的最重要的内容. 不少考生在证明过程中逻辑混乱、表达不规范，使自己丢了分. 这说明考生的数学表达能力还有待提高.
责任编辑罗峰