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我参加了江苏省教育科学“十一五”规划课题《“先思后导，变式拓宽”课堂教学模式研究》，该课题的研究变量解读：变式——打破封闭性。通过变式使学生“数学世界的图景”更完美建构；拓宽——唤醒创造力。数学教学的意义在于让学生在学习的过程中学会科学地思考和最大限度地释放出他们的创造力。一直以来，在平时的课堂教学中致力于形成“先思后导，变式拓宽”数学课堂教学体系的研究。下面以苏科版（九上）一道几何例题的教学为例，谈谈在教学中我是如何进行“变式拓宽”教学，提高学生迁移感悟能力的。
一、例题
如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB﹑AD上，∠ECF=45°.求证：EF=BE+DF
（一）教学片段
师：要证一条线段等于两条线段的和，有哪些处
理方法？
生1：可以用“割”或“补”的方法。
师：那怎样“割”或“补”呢？
生2：“割”的话可以过点C作CG⊥EF于点G，再通过三角形全等去证BE=EG，DF=FG
师：大家试试看可行吗？
（学生稍许思考后发现“此路不通”，无法证全等）
师：那试试“补”的方法，怎样添加辅助线？
生3：可以延长FD至点H，使得DH=BE（如图2），这样只要证EF=FH就行了，要用两次全等。
师：很好，还有其它的添法吗？
生4：我觉得可以将△CBE绕着点C顺时针旋转90°，这样BC与CD重合，一样可以构造BE+DF。
師：以上两个同学讲的方法，你们欣赏谁的方法？谁来说一说？
生5：我认为这两种方法实质是一样的，第二方法充分利用正方形的特征，借助了图形变换的方法更直接一些，所以欣赏用旋转这种方法。
……
（二）启示例题的教学，重在方法的点拨。应在寻求不同的解题途径与思维方式中，让学生学会选择合理的解决问题的方法，打破思维定势，开阔学生思路，优化解题方法，培养学生思维的合理性。
二、变式一
如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC>AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，BE=4，且∠ECD=45°.
求DE的长。
（一）教学片段
师：这道题与刚才例题有何区别和联系？
生6：我发现图形和刚才差不多，只是少了一个角，条件也有很多相同的地方。
师：那能否转化为刚才的问题去解决呢？
生7：可以将图形变为刚才的正方形。辅助线：过点C作CI⊥BC，与AD的延长线交于点I（如图4），可证四边形ABCI是正方形，这样就与例题差不多了。
师：这位同学观察很敏锐，他已将这个图形转化为例题类似的图形，这样是否有例题类似的结论呢？
生：（齐答）有，DE=BE+DI。
师：那下面如何用这个结论来求DE长呢？
生8：可以设DI=x，这样DE=BE+DI=4+x，AD=12-X，在Rt△ADE中，用勾股定理得到方程就可以解出x，从而求出DE的长。
师：这位同学充分运用所学知识，方程思想结合勾股定理，求出了解。
（指导书写，求解，过程略）
师：从这个问题变式，结合例题，你有哪些感悟？
生9：我们解决问题是要有转化思想，将陌生的图形转化为熟悉的图形。
生10：解决正方形的一些计算问题要联系勾股定理。
生11：我觉得还要认真审题，找到区别和联系，这样才有思路。
（二）启示通过变式教学，使一题多用，变更例题的背景，发展学生类比的思想方法，提高学生经验的迁移能力。这样也给学生新鲜感，能够唤起学生好奇心和求知欲，因而能够产生主动参与的动力，保持其参与教学活动的兴趣和热情。确保学生参与教学活动的持续的热情，加强学生在课堂教学中的参与意识，使学生真正成为课堂教学的主人，这是现代数学教学的趋势。这还要求课堂上营造一种支持性的平等对话情景，给学生的学习活动提供环境的支撑，从而使师生在平等对话中学会倾听、学会尊重、学会欣赏。平等的交流能使学生产生交流的意愿，相互的启迪与质疑使学生创新思维不断地被激活、灵感不断地被点燃，再生资源也在启迪中不断地生成。
三、变式二
（一）条件变化。如图5， 在正方形ABCD中，点E、F分别在AB﹑DA 延长线上，∠ECF=45°.问：EF与BE、DF之间有怎样的数量关系？并说明理由。
教学片段。师：这道题与例题有又何联系和区别呢？
生12：条件其实一样，只是∠ECF一部分到了正方形外。
师：很好，说出了本质特点。那能否用例题的方法解决这个问题？结论是否还相同呢？
生：可以用刚才的方法，结论不同为：EF=DF-BE
……
（二）启示。这个问题如果单独给出，学生是有困难的，在这一组变式训练后拿出来，可以把一个看似孤立的问题从不同角度向外扩散，并形成一个有规律可寻的系列，帮助学生在问题的解答过程中去寻找解类似问题的思路、方法，有意识地展现教学过程中教师与学生数学思维活动的过程，充分调动学生学习的积极性，使学生主动地参与教学的全过程，培养学生独立分析和解决问题的能力，以及大胆创新、勇于探索的精神，从而丰富学生数学学习活动经验和提升学生的感悟能力，真正把学生能力的培养落到实处。学生也不需要大量、重复地做同一样类型的题目，切实从题海中走出来，实现真正的减负与增效。
学生的数学学习过程实质上是学生的知识和经验再生长的过程，因此我们要时刻关注学生在学习过程中的感悟，促进学生有智慧地学习，关注对他们学习经验的生长和迁移能力的培养。我们要注意对例题的再加工，将例题多层次变式，既让学生加强了知识之间的联系，又激发学习兴趣，达到既巩固知识又培养能力的目的。变式拓宽把学生自主学习和主体智力参与，以及多向性、多层次的交互作用引进教学过程，使教学结构发生质的变化，让学生成为创造的主人，结合典型例题，着意设计阶梯式的问题，引导学生的思维纵深拓展，构建适合学生个性发展的高效教学体制，实现师生多方面的“双赢”。
一、例题
如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB﹑AD上，∠ECF=45°.求证：EF=BE+DF
（一）教学片段
师：要证一条线段等于两条线段的和，有哪些处
理方法？
生1：可以用“割”或“补”的方法。
师：那怎样“割”或“补”呢？
生2：“割”的话可以过点C作CG⊥EF于点G，再通过三角形全等去证BE=EG，DF=FG
师：大家试试看可行吗？
（学生稍许思考后发现“此路不通”，无法证全等）
师：那试试“补”的方法，怎样添加辅助线？
生3：可以延长FD至点H，使得DH=BE（如图2），这样只要证EF=FH就行了，要用两次全等。
师：很好，还有其它的添法吗？
生4：我觉得可以将△CBE绕着点C顺时针旋转90°，这样BC与CD重合，一样可以构造BE+DF。
師：以上两个同学讲的方法，你们欣赏谁的方法？谁来说一说？
生5：我认为这两种方法实质是一样的，第二方法充分利用正方形的特征，借助了图形变换的方法更直接一些，所以欣赏用旋转这种方法。
……
（二）启示例题的教学，重在方法的点拨。应在寻求不同的解题途径与思维方式中，让学生学会选择合理的解决问题的方法，打破思维定势，开阔学生思路，优化解题方法，培养学生思维的合理性。
二、变式一
如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC>AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，BE=4，且∠ECD=45°.
求DE的长。
（一）教学片段
师：这道题与刚才例题有何区别和联系？
生6：我发现图形和刚才差不多，只是少了一个角，条件也有很多相同的地方。
师：那能否转化为刚才的问题去解决呢？
生7：可以将图形变为刚才的正方形。辅助线：过点C作CI⊥BC，与AD的延长线交于点I（如图4），可证四边形ABCI是正方形，这样就与例题差不多了。
师：这位同学观察很敏锐，他已将这个图形转化为例题类似的图形，这样是否有例题类似的结论呢？
生：（齐答）有，DE=BE+DI。
师：那下面如何用这个结论来求DE长呢？
生8：可以设DI=x，这样DE=BE+DI=4+x，AD=12-X，在Rt△ADE中，用勾股定理得到方程就可以解出x，从而求出DE的长。
师：这位同学充分运用所学知识，方程思想结合勾股定理，求出了解。
（指导书写，求解，过程略）
师：从这个问题变式，结合例题，你有哪些感悟？
生9：我们解决问题是要有转化思想，将陌生的图形转化为熟悉的图形。
生10：解决正方形的一些计算问题要联系勾股定理。
生11：我觉得还要认真审题，找到区别和联系，这样才有思路。
（二）启示通过变式教学，使一题多用，变更例题的背景，发展学生类比的思想方法，提高学生经验的迁移能力。这样也给学生新鲜感，能够唤起学生好奇心和求知欲，因而能够产生主动参与的动力，保持其参与教学活动的兴趣和热情。确保学生参与教学活动的持续的热情，加强学生在课堂教学中的参与意识，使学生真正成为课堂教学的主人，这是现代数学教学的趋势。这还要求课堂上营造一种支持性的平等对话情景，给学生的学习活动提供环境的支撑，从而使师生在平等对话中学会倾听、学会尊重、学会欣赏。平等的交流能使学生产生交流的意愿，相互的启迪与质疑使学生创新思维不断地被激活、灵感不断地被点燃，再生资源也在启迪中不断地生成。
三、变式二
（一）条件变化。如图5， 在正方形ABCD中，点E、F分别在AB﹑DA 延长线上，∠ECF=45°.问：EF与BE、DF之间有怎样的数量关系？并说明理由。
教学片段。师：这道题与例题有又何联系和区别呢？
生12：条件其实一样，只是∠ECF一部分到了正方形外。
师：很好，说出了本质特点。那能否用例题的方法解决这个问题？结论是否还相同呢？
生：可以用刚才的方法，结论不同为：EF=DF-BE
……
（二）启示。这个问题如果单独给出，学生是有困难的，在这一组变式训练后拿出来，可以把一个看似孤立的问题从不同角度向外扩散，并形成一个有规律可寻的系列，帮助学生在问题的解答过程中去寻找解类似问题的思路、方法，有意识地展现教学过程中教师与学生数学思维活动的过程，充分调动学生学习的积极性，使学生主动地参与教学的全过程，培养学生独立分析和解决问题的能力，以及大胆创新、勇于探索的精神，从而丰富学生数学学习活动经验和提升学生的感悟能力，真正把学生能力的培养落到实处。学生也不需要大量、重复地做同一样类型的题目，切实从题海中走出来，实现真正的减负与增效。
学生的数学学习过程实质上是学生的知识和经验再生长的过程，因此我们要时刻关注学生在学习过程中的感悟，促进学生有智慧地学习，关注对他们学习经验的生长和迁移能力的培养。我们要注意对例题的再加工，将例题多层次变式，既让学生加强了知识之间的联系，又激发学习兴趣，达到既巩固知识又培养能力的目的。变式拓宽把学生自主学习和主体智力参与，以及多向性、多层次的交互作用引进教学过程，使教学结构发生质的变化，让学生成为创造的主人，结合典型例题，着意设计阶梯式的问题，引导学生的思维纵深拓展，构建适合学生个性发展的高效教学体制，实现师生多方面的“双赢”。