论文部分内容阅读
摘 要：对称性是函数的一个重要性质，在很多问题中都可以运用。教师应该改变教学方法，不能一味地强调多训练，而是要引导学生在训练中及时总结。要引导学生思考，函数的对称性包括哪几个方面，在不同类型问题中如何应用等等。本文将从函数自身的对称、不同函数的对称性、函数对称性应用举例等三个方面来探讨对称性在函数问题中的应用。
关键词：高中数学；函数；对称性；应用古人云：学而不思则罔，思而不学则殆。学习和思考是一对孪生兄弟，少了任何一个方面，学习成绩就很难有质的提升。在教学中，我发现不少学生，训练了大量的数学习题，却不知道从训练中去总结规律，难以形成系统性的知识清单。所以教师应该将教学重心放在引导学生构建知识网络，总结出知识点的规律，使学生在训练中能做到举一反三。
函数的对称性是函数的一个重要性质，对称关系广泛存在于数学问题之中，利用对称性能更简捷地解决问题。函数的对称包括函数自身的对称性和不同函数之间的对称性。下面具体分析各个方面：
一、函数自身的对称
定理1.函数 y = f （x）的图像关于点A （a ，b）对称的充要条件是：f （x） + f （2a-x） = 2b
推论：函数 y = f （x）的图像关于原点的对称的充要条件是f （x） + f （-x） = 0
定理2. 函数 y = f （x）的图像关于直线x = a对称的充要条件是
f （a +x） = f （a-x） 即f （x） = f （2a-x）
推论：函数 y = f （x）的图像关于y轴对称（实际是偶函数）的充要条件是f （x） = f （-x）
定理3. ①若函数y = f （x） 图像同时关于点A （a ，c）和点B （b ，c）成中心对称（a≠b），则y = f （x）是周期函数，且2| a-b|是其一个周期。
②若函数y = f （x） 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （a≠b），则y = f （x）是周期函数，且2| a-b|是其一个周期。
③若函数y = f （x）图像既关于点A （a ，c） 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f （x）是周期函数，且4| a-b|是其一个周期。
二、不同函数对称性
定理4. 函数y = f （x）与y = 2b-f （2a-x）的图像关于点A （a ，b）成中心对称。
定理5. ①函数y = f （x）与y = f （2a-x）的图像关于直线x = a成轴对称。
②函数y = f （x）与a-x = f （a-y）的图像关于直线x +y = a成轴对称。
③函数y = f （x）与x-a = f （y + a）的图像关于直线x-y = a成轴对称。
推论：函数y = f （x）的图像与x = f （y）的图像关于直线x = y 成轴对称（实际是函数与反函数的问题）。
三、函数对称性应用举例
例1：定义在R上的非常数函数满足：f（x+10）为偶函数，且f（5-x）=f（5+x），则f（x）一定是（ ）
A. 是偶函数，也是周期函数 B. 是偶函数，但不是周期函数
C. 是奇函数，也是周期函数 D. 是奇函数，但不是周期函数
解：因为f（x+10）为偶函数，所以f（10+x）=f（10-x）。所以f（x）有两条对称轴x=5与x=10，因此f（x）是以10为其一个周期的周期函数，所以x=0即y轴也是f（x）的对称轴，因此f（x）还是一个偶函数。故选（A）。
2：设定义域为R的函数y = f （x）、y = g（x）都有反函数，并且f（x-1）和g-1（x-2）函数的图像关于直线y = x对称，若g（5） = 1999，那么f（4）=（ ）。
（A）1999 （B）2000 （C）2001 （D）2002。
解：∵y = f（x-1）和y = g-1（x-2）函数的图像关于直线y = x对称，
∴y = g-1（x-2） 反函数是y = f（x-1），而y = g-1（x-2）的反函数是：y = 2 + g（x）， ∴f（x-1） = 2 + g（x）， ∴有f（5-1） = 2 + g（5）=2001
故f（4） = 2001，应选（C）
例3.设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）= f（1-x），当-1≤x≤0时，
f （x） = -[12]x，则f （8.6 ） = _________（第八届希望杯高二 第一试题）
解：∵f（x）是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f（x）对称轴；
又∵f（1+x）= f（1-x） ∴x = 1也是y = f （x） 对称轴。故y = f（x）是以2为周期的周期函数，∴f （8.6 ） = f （8+0.6 ） = f （0.6 ） = f （-0.6 ） = 0.3
例4.函数 y = sin （2x + [5π2]）的图像的一条对称轴的方程是（）（92全国高考理）
（A） x = -[π2] （B） x = -[π4]
（C） x = [π8] （D） x =[5π4]
解：函数 y = sin （2x + [5π2]）的图像的所有对称轴的方程是2x + [5π2] = k[π]+[π2]
∴x = [kπ2]-[π]，顯然取k = 1时的对称轴方程是x = -[π2] 故选（A）
例5. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）= -f（x），当0≤x≤1时，
f （x） = x，则f （7.5 ） = （ ）
（A）0.5 （B） -0.5
（C） 1.5 （D） -1.5
解：∵y = f （x）是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；
又∵f （x+2 ）= -f （x） = f （-x），即f （1+ x） = f （1-x）， ∴直线x = 1是y = f （x） 对称轴，故y = f （x）是周期为2的周期函数。
∴f （7.5 ） = f （8-0.5 ） = f （-0.5 ） = -f （0.5 ） =-0.5 故选（B）
通过上述梳理和举例，相信大家对函数对称性已经有了更加全面的认识，大家在以后的学习中也要不断总结，力争对函数有一个更深的了解。
关键词：高中数学；函数；对称性；应用古人云：学而不思则罔，思而不学则殆。学习和思考是一对孪生兄弟，少了任何一个方面，学习成绩就很难有质的提升。在教学中，我发现不少学生，训练了大量的数学习题，却不知道从训练中去总结规律，难以形成系统性的知识清单。所以教师应该将教学重心放在引导学生构建知识网络，总结出知识点的规律，使学生在训练中能做到举一反三。
函数的对称性是函数的一个重要性质，对称关系广泛存在于数学问题之中，利用对称性能更简捷地解决问题。函数的对称包括函数自身的对称性和不同函数之间的对称性。下面具体分析各个方面：
一、函数自身的对称
定理1.函数 y = f （x）的图像关于点A （a ，b）对称的充要条件是：f （x） + f （2a-x） = 2b
推论：函数 y = f （x）的图像关于原点的对称的充要条件是f （x） + f （-x） = 0
定理2. 函数 y = f （x）的图像关于直线x = a对称的充要条件是
f （a +x） = f （a-x） 即f （x） = f （2a-x）
推论：函数 y = f （x）的图像关于y轴对称（实际是偶函数）的充要条件是f （x） = f （-x）
定理3. ①若函数y = f （x） 图像同时关于点A （a ，c）和点B （b ，c）成中心对称（a≠b），则y = f （x）是周期函数，且2| a-b|是其一个周期。
②若函数y = f （x） 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （a≠b），则y = f （x）是周期函数，且2| a-b|是其一个周期。
③若函数y = f （x）图像既关于点A （a ，c） 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f （x）是周期函数，且4| a-b|是其一个周期。
二、不同函数对称性
定理4. 函数y = f （x）与y = 2b-f （2a-x）的图像关于点A （a ，b）成中心对称。
定理5. ①函数y = f （x）与y = f （2a-x）的图像关于直线x = a成轴对称。
②函数y = f （x）与a-x = f （a-y）的图像关于直线x +y = a成轴对称。
③函数y = f （x）与x-a = f （y + a）的图像关于直线x-y = a成轴对称。
推论：函数y = f （x）的图像与x = f （y）的图像关于直线x = y 成轴对称（实际是函数与反函数的问题）。
三、函数对称性应用举例
例1：定义在R上的非常数函数满足：f（x+10）为偶函数，且f（5-x）=f（5+x），则f（x）一定是（ ）
A. 是偶函数，也是周期函数 B. 是偶函数，但不是周期函数
C. 是奇函数，也是周期函数 D. 是奇函数，但不是周期函数
解：因为f（x+10）为偶函数，所以f（10+x）=f（10-x）。所以f（x）有两条对称轴x=5与x=10，因此f（x）是以10为其一个周期的周期函数，所以x=0即y轴也是f（x）的对称轴，因此f（x）还是一个偶函数。故选（A）。
2：设定义域为R的函数y = f （x）、y = g（x）都有反函数，并且f（x-1）和g-1（x-2）函数的图像关于直线y = x对称，若g（5） = 1999，那么f（4）=（ ）。
（A）1999 （B）2000 （C）2001 （D）2002。
解：∵y = f（x-1）和y = g-1（x-2）函数的图像关于直线y = x对称，
∴y = g-1（x-2） 反函数是y = f（x-1），而y = g-1（x-2）的反函数是：y = 2 + g（x）， ∴f（x-1） = 2 + g（x）， ∴有f（5-1） = 2 + g（5）=2001
故f（4） = 2001，应选（C）
例3.设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）= f（1-x），当-1≤x≤0时，
f （x） = -[12]x，则f （8.6 ） = _________（第八届希望杯高二 第一试题）
解：∵f（x）是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f（x）对称轴；
又∵f（1+x）= f（1-x） ∴x = 1也是y = f （x） 对称轴。故y = f（x）是以2为周期的周期函数，∴f （8.6 ） = f （8+0.6 ） = f （0.6 ） = f （-0.6 ） = 0.3
例4.函数 y = sin （2x + [5π2]）的图像的一条对称轴的方程是（）（92全国高考理）
（A） x = -[π2] （B） x = -[π4]
（C） x = [π8] （D） x =[5π4]
解：函数 y = sin （2x + [5π2]）的图像的所有对称轴的方程是2x + [5π2] = k[π]+[π2]
∴x = [kπ2]-[π]，顯然取k = 1时的对称轴方程是x = -[π2] 故选（A）
例5. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）= -f（x），当0≤x≤1时，
f （x） = x，则f （7.5 ） = （ ）
（A）0.5 （B） -0.5
（C） 1.5 （D） -1.5
解：∵y = f （x）是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；
又∵f （x+2 ）= -f （x） = f （-x），即f （1+ x） = f （1-x）， ∴直线x = 1是y = f （x） 对称轴，故y = f （x）是周期为2的周期函数。
∴f （7.5 ） = f （8-0.5 ） = f （-0.5 ） = -f （0.5 ） =-0.5 故选（B）
通过上述梳理和举例，相信大家对函数对称性已经有了更加全面的认识，大家在以后的学习中也要不断总结，力争对函数有一个更深的了解。