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[摘 要]“数学思考”是指在数学的教学活动中引发的思考，它是数学课程标准（修订版）提出的重要课程目标之一。作为数学教师，应从情境、问题、活动、评价、反思、应用六个方面贯彻实施“数学思考”课程目标的有效策略，从而使学生的数学思考得到促进，使学生的数学思维得到启发。
[关键词]数学思考；教学策略；课程目标
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）08-0052-03
“没有思考的数学学习就不是真正意义上的数学学习”，这个观点被众多的数学教师认同并付诸实践。然而，现在的数学课堂，生活情境多了，真正有思考价值的素材却少了；“做一做”多了，活动体验却少了；“说一说”多了，富有创造性的“思考”却少了……课堂的种种热闹掩不住学生疲乏的学习情感、单薄的学习体验和苍白的数学思考。
教师的简单传授或许能让学生学到知识，却不能促进学生的数学思考。要真正促进学生的数学思考，关键是看在数学学习的过程中能否触动学生的心灵，引发学生的思考，让学生获得深刻的体验。鉴于此，我认为应从以下几个角度把握好数学课堂教学。
心理学研究表明，不好的思维情境会抑制学生的思考热情，学生的思维活动依赖于教师的循循善诱和层层点拨。因此，在课堂教学中，教师应创设多样化的、有效度的教学情境，以启发学生思维，促进学生进行数学思考。
1.创设现实性教学情境，让学生便于思考
创设现实性教学情境，能够激发学生的探究兴趣，强化学生的动机意识，促使学生自主学习、积极思考，并且学会运用已有的知识和经验去解决数学问题。
例如，在教学“‘247-98’的简便计算”时，可以先创设情境：现有3捆练习本，其中2捆各100本，另一捆47本，现在要从247本练习本中取出98本奖励给学生，可以怎样取？然后鼓励学生想出不同的解决方法。学生凭借着已有的知识和经验，体会到“先取100本的1捆再放回2本”的方法最简便。
2.创设挑战性教学情境，让学生勇于思考
心理学研究表明，认知矛盾是动机的根源。创设具有挑战性的教学情境，能够在教学内容与学生求知欲望之间制造一种“不和谐”，把学生引入问题情境当中，从而激发学生研究问题的热情。
例如，在教学“三角形的分类”时，课前，我剪好许多个形状不同的三角形并将它们分别藏在不同的信封里，在每个信封口露出三角形的一个角，提问：“猜猜里面是一个什么三角形？”若露出的那个角是直角、钝角，学生一猜一个准，他们自然而然流露出得意的神色。但当信封口露出的是锐角时，有的学生便不假思索地说是锐角三角形。我神秘地对学生说：“真的是锐角三角形吗？不是吧？再猜猜看。”学生一口咬定是锐角三角形。结果当从信封里拿出三角形，一看却是钝角三角形或直角三角形时，学生满脸疑惑，思维处于一种“心求通而未得，口欲言而未能”的愤悱状态。看准这个契机，我追问：“为什么知道三角形的一个角是直角或者钝角时就能判断它是什么三角形，而知道一个锐角却不能判断它是什么三角形呢？”这样的问题一抛出，学生的思维就会被激活，从而走向更远更深。
3.创设实践性教学情境，让学生乐于思考
在进行数学拓展时，教师若能创设带有丰富情感色彩的实践性教学情境，将收到“百问不如一做”的教学效果。
例如，教学“利息和利率”一课时，教师可在课前安排学生去银行了解有关存款利率的知识；教学“设计校园”一课时，教师可组织学生参观学校校园，让学生观察建筑物、操场、绿化带等的位置；教学“长度单位、周长、面积计算”时，教师可让学生扮演測量员实地测量、计算物体的周长和面积；教学“统计知识”时，教师可让学生扮演统计员进行实地调查，搜集数据，制作统计图表，等等。学生边做边思，求知欲得到满足，从而更加乐意投入到数学思考中。
由上可知，教师只有着眼于课中所要解决的核心问题，创设一系列的有效情境，才能把学生的数学思考引向深入。
“善问”是启发式教学的主要体现，“善问者如撞钟，扣之以小则小鸣，叩之以大则大鸣。”课堂上，准确、恰当、高效的提问能充分调动学生的学习积极性。那么，怎样的问题既贴近学生的生活经验与知识背景，又能有效激发学生的思考热情？怎样设计问题才能真正体现数学本质？每个问题能给不同的学生多大的探究空间？这些问题都值得教师深入思考。
例如，在教学“图形的密铺”时，我根据教学进程设计了以下操作。
1.引导学生观察各种密铺图案，总结“密铺”概念。
2.出示各种各样的密铺图形，提问：“如果要选用一个图形进行密铺，你会选哪个图形？ 说说你这样选择的理由。”
[点评：这个问题的设计看似操作活动的指令，实际上是引导学生将直观思维转化为一种合理的猜想，让学生通过操作进而判断出这些图形中正五边形和圆形是不能密铺的。]
3.展示能够密铺与不能密铺的图案，提问：“一个图形能否单独密铺，究竟与什么有关？”
[点评：这样设计问题能够让学生在动手实践后对图形密铺问题的内涵进行理性思考。对于这个问题，有学生猜测与图形的边数有关，有学生猜想与角的度数有关。在学生各抒己见后，我在课件上闪烁各拼接点，提出新的研究问题：拼接点周围的角有什么特征？这一问题涉及密铺的数学本质，即“连接点周围的角度合起来如果是360°就可以密铺；反之，则不能密铺”。这个问题能引发学生深入思考及探究现象背后蕴藏的数学本质。]
4.待学生探究出能够密铺的图形的特征后，我又提出疑问：怎样把不能密铺的图形（如正五边形）拼接在一起，使它们之间没有缝隙？
[点评：这个问题不仅让学生再次把握图形密铺的核心，而且促使学生从多个角度思考问题。如此教学是以问题为思维的导火线，通过问题引导学生学习，促使学生的思维层层深入，激发学生主动思考的欲望，引领学生积极探究“密铺”这一生活现象背后蕴含的数学本质，更关键的是可以使教学从探索知识延伸至深入思考。] 毫无疑问，“学起于思，思源于疑”，矛盾是开启学生思维大门的钥匙，教师要善于将教材中的核心内容转化成能引发学生认知矛盾、激发学生探究欲望的有价值的数学问题。问题的设置要有鲜明的目的性和针对性，要有利于化解矛盾，有利于揭示数学本质。只有这样，学生的学习活动才会明确而具体，课堂交流与讨论才能碰撞出思维的火花，学生的数学思考也才能逐渐深入。
在数学教学中，“活动操作”是学生自主探索新知、建构数学模型的重要方法。因此，教师要把活动操作与数学思考紧密联系起来，引导学生在操作活动中充分开展比较、分析、综合、抽象、推理等逻辑思维活动，进而使学生在获得知识技能与实践经验的同时，学会数学思考。
1.在操作活动中建构数学概念
操作活动能够帮助学生在形象思维和抽象思维之间搭起一座桥梁，促进学生数学思维的发展。操作活动时既要密切关注学生的知识掌握情况和学习能力发展情况，又要关注学生数学学习过程中的情感态度和思维品质，真正促进学生数学思维的发展。
例如，在教学“三角形的内角和”时，课前我让学生事先用卡纸剪好长方形、正方形和三角形，并准备好小剪刀和量角器等学具；课上我引导学生通过折、剪、拼、量等操作活动掌握“三角形的内角和是180°”这个规律，既锻炼了学生的动手能力，又启发了学生的发散性思维，有效促进了学生的数学思考。
2.在操作活动中理解算理、掌握算法
小学生是以具体形象思维为主，而小学数学中的算理与算法通常是比较抽象的，动手操作能有效地解决学生在认知过程中的困惑，使抽象的算理、算法形象化和直观化。
例如，教学“100以内数的认识”时，教师可给学生安排操作活动“从自己的学具中拿出42个小礼物”，然后引导学生思考：拿出的小礼物，怎样摆才能让别的同学一眼就看出是42个？这样，轻松地让学生带着问题进行操作活动，充分展示出不同学生的思维现状。在操作活动中，有的学生是将学具2个为一组进行摆放，有的学生是将学具5个为一组进行摆放，有的学生是10个为一组进行摆放。通过比较，学生很快体会到10个为一组摆放的优势，这样就为“10个一就是10”“10个10就是100”等新知的学习打通了路径。
3.在操作活动中发展学生的空间观念
苏霍姆林斯基说过：“手和脑之间有着千丝万缕的联系，手使脑得到发展，使它更明智，脑使手得到发展，使它变成思维的工具和镜子。”新课程同样也提倡让学生经历、体验，倡导“做中学”的教学理念。对此，在“空间与图形”的教学中，教师让学生进行摸、量、比、描、剪、拼、摆、搭等操作活动，从而形成清晰的表象，积累丰富的感性认识和直接经验，进而发展学生的空间观念和抽象逻辑思维。
积极的评价能鼓励学生积极参与学习活动，积极的评价能充分调动和保护学生的学习积极性。
例如，在教学“十几减去9、8”这一课时，教师教学相关知识后提问：“还有问题吗？”学生答道：“计算13-8时，3减8不够减，我是倒着减的，先用8减3得5，再用10减5得5。因此，13-8=5。这样可以吗？”不等这个学生回答完，其余学生纷纷说道：“不对不对，减法不能倒着减。”这时，我引导学生对这个问题展开了积极的讨论，学生最后一致认为：这样做也是可以的。可见，这样的引导性评价激发了学生思考的热情。
只有让学生对自己的思考过程进行反思，整合他人的数学思考方法，才能促使学生构建自己新的认知结构，抓住数学的本质所在，从而进行有效的数学思考。在现在的课堂中，很多学生做了完题目就以为完成了任务，缺少对解题过程的主动回顾与反思，从而导致学习效率低。我觉得可在学生解决问题后，再积极引导他们思考：你刚才是怎么思考的？解决问题的关键在哪里？怎样解决问题？每一步在求什么？还有不同的解题方法吗？开展这样的回顾与反思，既能深化学生的数学思考，又能够培养学生的解决问题能力和反思意识。
六、落实有厚度的实践应用
解决实际生活中的数学问题是学习数学知识的出发点和归宿。数学教学既要使学生获得扎实的基础知识和基本技能，又要使学生形成用数学思想方法去分析和解决实际问题的意识，增强学生应用数学知识的意识与能力。课程改革以来，数学教学虽然得到了前所未有的重视，但在应用中也出现了一些值得注意的问题。如教完“路程问题”后，教师就出示习题“一辆车从甲地开往乙地，每小时行驶165千米，行驶了12小时。甲地到乙地共有多少千米？”让学生进行计算，全然不顾及现实生活中此车严重超速及司机已属疲劳驾驶，违反交通法规的事实。可见，一些教师已经忘记了数学应用的目的及价值。因此，数学教学应回归生活，摈弃形式上的盲从，多组织一些实践性活动，从而激发学生数学思考的热情，促进学生思维的发展。
例如，教学“平面图形的面积计算”后，教师应增设一堂测量实践课，使学生不仅能计算课本中提及的平面图形的面积，而且能求出生活中不同形状的图形的面积。教学“长方体的表面积”后，可启发学生思考并实践：若要将12盒牛奶包装成一箱，你能设计出几种包装方案？商场里12盒一箱的牛奶又是怎样包装的？为何这样包装？在一个个问题的引导下，学生有思考、有实践，灵活运用知识解决问题的能力得到了培养，同时又在问题解决中体会到了学习数学的价值。
总之，数学思考是富有挑战性的深层智力活动，是学生对数学对象的理性认识过程。作为数学教师，要将数学思考贯穿整个数学教学过程，有效落实“数学思考”课程目标，从而实现学生数学能力的有效提升。
[1] 中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2] 杨晓荣，张梅香.让思考贯穿数学学习的全过程[J].教学与管理，2005（7）.
[3] 丁宜林.落实数学思考课程目标的探究[J].上海教育科研，2013（12）.
[4] 周錫华.有效促进学生“数学思考”的几个策略[J].小学数学教育，2011（5）.
[5] 束德美.让操作活动与数学思考同行[J].小学教学参考，2013（2）.
（责编 黄春香）
[关键词]数学思考；教学策略；课程目标
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）08-0052-03
“没有思考的数学学习就不是真正意义上的数学学习”，这个观点被众多的数学教师认同并付诸实践。然而，现在的数学课堂，生活情境多了，真正有思考价值的素材却少了；“做一做”多了，活动体验却少了；“说一说”多了，富有创造性的“思考”却少了……课堂的种种热闹掩不住学生疲乏的学习情感、单薄的学习体验和苍白的数学思考。
教师的简单传授或许能让学生学到知识，却不能促进学生的数学思考。要真正促进学生的数学思考，关键是看在数学学习的过程中能否触动学生的心灵，引发学生的思考，让学生获得深刻的体验。鉴于此，我认为应从以下几个角度把握好数学课堂教学。
一、创设有效度的教学情境
心理学研究表明，不好的思维情境会抑制学生的思考热情，学生的思维活动依赖于教师的循循善诱和层层点拨。因此，在课堂教学中，教师应创设多样化的、有效度的教学情境，以启发学生思维，促进学生进行数学思考。
1.创设现实性教学情境，让学生便于思考
创设现实性教学情境，能够激发学生的探究兴趣，强化学生的动机意识，促使学生自主学习、积极思考，并且学会运用已有的知识和经验去解决数学问题。
例如，在教学“‘247-98’的简便计算”时，可以先创设情境：现有3捆练习本，其中2捆各100本，另一捆47本，现在要从247本练习本中取出98本奖励给学生，可以怎样取？然后鼓励学生想出不同的解决方法。学生凭借着已有的知识和经验，体会到“先取100本的1捆再放回2本”的方法最简便。
2.创设挑战性教学情境，让学生勇于思考
心理学研究表明，认知矛盾是动机的根源。创设具有挑战性的教学情境，能够在教学内容与学生求知欲望之间制造一种“不和谐”，把学生引入问题情境当中，从而激发学生研究问题的热情。
例如，在教学“三角形的分类”时，课前，我剪好许多个形状不同的三角形并将它们分别藏在不同的信封里，在每个信封口露出三角形的一个角，提问：“猜猜里面是一个什么三角形？”若露出的那个角是直角、钝角，学生一猜一个准，他们自然而然流露出得意的神色。但当信封口露出的是锐角时，有的学生便不假思索地说是锐角三角形。我神秘地对学生说：“真的是锐角三角形吗？不是吧？再猜猜看。”学生一口咬定是锐角三角形。结果当从信封里拿出三角形，一看却是钝角三角形或直角三角形时，学生满脸疑惑，思维处于一种“心求通而未得，口欲言而未能”的愤悱状态。看准这个契机，我追问：“为什么知道三角形的一个角是直角或者钝角时就能判断它是什么三角形，而知道一个锐角却不能判断它是什么三角形呢？”这样的问题一抛出，学生的思维就会被激活，从而走向更远更深。
3.创设实践性教学情境，让学生乐于思考
在进行数学拓展时，教师若能创设带有丰富情感色彩的实践性教学情境，将收到“百问不如一做”的教学效果。
例如，教学“利息和利率”一课时，教师可在课前安排学生去银行了解有关存款利率的知识；教学“设计校园”一课时，教师可组织学生参观学校校园，让学生观察建筑物、操场、绿化带等的位置；教学“长度单位、周长、面积计算”时，教师可让学生扮演測量员实地测量、计算物体的周长和面积；教学“统计知识”时，教师可让学生扮演统计员进行实地调查，搜集数据，制作统计图表，等等。学生边做边思，求知欲得到满足，从而更加乐意投入到数学思考中。
由上可知，教师只有着眼于课中所要解决的核心问题，创设一系列的有效情境，才能把学生的数学思考引向深入。
二、设计有准度的探究问题
“善问”是启发式教学的主要体现，“善问者如撞钟，扣之以小则小鸣，叩之以大则大鸣。”课堂上，准确、恰当、高效的提问能充分调动学生的学习积极性。那么，怎样的问题既贴近学生的生活经验与知识背景，又能有效激发学生的思考热情？怎样设计问题才能真正体现数学本质？每个问题能给不同的学生多大的探究空间？这些问题都值得教师深入思考。
例如，在教学“图形的密铺”时，我根据教学进程设计了以下操作。
1.引导学生观察各种密铺图案，总结“密铺”概念。
2.出示各种各样的密铺图形，提问：“如果要选用一个图形进行密铺，你会选哪个图形？ 说说你这样选择的理由。”
[点评：这个问题的设计看似操作活动的指令，实际上是引导学生将直观思维转化为一种合理的猜想，让学生通过操作进而判断出这些图形中正五边形和圆形是不能密铺的。]
3.展示能够密铺与不能密铺的图案，提问：“一个图形能否单独密铺，究竟与什么有关？”
[点评：这样设计问题能够让学生在动手实践后对图形密铺问题的内涵进行理性思考。对于这个问题，有学生猜测与图形的边数有关，有学生猜想与角的度数有关。在学生各抒己见后，我在课件上闪烁各拼接点，提出新的研究问题：拼接点周围的角有什么特征？这一问题涉及密铺的数学本质，即“连接点周围的角度合起来如果是360°就可以密铺；反之，则不能密铺”。这个问题能引发学生深入思考及探究现象背后蕴藏的数学本质。]
4.待学生探究出能够密铺的图形的特征后，我又提出疑问：怎样把不能密铺的图形（如正五边形）拼接在一起，使它们之间没有缝隙？
[点评：这个问题不仅让学生再次把握图形密铺的核心，而且促使学生从多个角度思考问题。如此教学是以问题为思维的导火线，通过问题引导学生学习，促使学生的思维层层深入，激发学生主动思考的欲望，引领学生积极探究“密铺”这一生活现象背后蕴含的数学本质，更关键的是可以使教学从探索知识延伸至深入思考。] 毫无疑问，“学起于思，思源于疑”，矛盾是开启学生思维大门的钥匙，教师要善于将教材中的核心内容转化成能引发学生认知矛盾、激发学生探究欲望的有价值的数学问题。问题的设置要有鲜明的目的性和针对性，要有利于化解矛盾，有利于揭示数学本质。只有这样，学生的学习活动才会明确而具体，课堂交流与讨论才能碰撞出思维的火花，学生的数学思考也才能逐渐深入。
三、组织有深度的操作活动
在数学教学中，“活动操作”是学生自主探索新知、建构数学模型的重要方法。因此，教师要把活动操作与数学思考紧密联系起来，引导学生在操作活动中充分开展比较、分析、综合、抽象、推理等逻辑思维活动，进而使学生在获得知识技能与实践经验的同时，学会数学思考。
1.在操作活动中建构数学概念
操作活动能够帮助学生在形象思维和抽象思维之间搭起一座桥梁，促进学生数学思维的发展。操作活动时既要密切关注学生的知识掌握情况和学习能力发展情况，又要关注学生数学学习过程中的情感态度和思维品质，真正促进学生数学思维的发展。
例如，在教学“三角形的内角和”时，课前我让学生事先用卡纸剪好长方形、正方形和三角形，并准备好小剪刀和量角器等学具；课上我引导学生通过折、剪、拼、量等操作活动掌握“三角形的内角和是180°”这个规律，既锻炼了学生的动手能力，又启发了学生的发散性思维，有效促进了学生的数学思考。
2.在操作活动中理解算理、掌握算法
小学生是以具体形象思维为主，而小学数学中的算理与算法通常是比较抽象的，动手操作能有效地解决学生在认知过程中的困惑，使抽象的算理、算法形象化和直观化。
例如，教学“100以内数的认识”时，教师可给学生安排操作活动“从自己的学具中拿出42个小礼物”，然后引导学生思考：拿出的小礼物，怎样摆才能让别的同学一眼就看出是42个？这样，轻松地让学生带着问题进行操作活动，充分展示出不同学生的思维现状。在操作活动中，有的学生是将学具2个为一组进行摆放，有的学生是将学具5个为一组进行摆放，有的学生是10个为一组进行摆放。通过比较，学生很快体会到10个为一组摆放的优势，这样就为“10个一就是10”“10个10就是100”等新知的学习打通了路径。
3.在操作活动中发展学生的空间观念
苏霍姆林斯基说过：“手和脑之间有着千丝万缕的联系，手使脑得到发展，使它更明智，脑使手得到发展，使它变成思维的工具和镜子。”新课程同样也提倡让学生经历、体验，倡导“做中学”的教学理念。对此，在“空间与图形”的教学中，教师让学生进行摸、量、比、描、剪、拼、摆、搭等操作活动，从而形成清晰的表象，积累丰富的感性认识和直接经验，进而发展学生的空间观念和抽象逻辑思维。
四、实施有温度的积极评价
积极的评价能鼓励学生积极参与学习活动，积极的评价能充分调动和保护学生的学习积极性。
例如，在教学“十几减去9、8”这一课时，教师教学相关知识后提问：“还有问题吗？”学生答道：“计算13-8时，3减8不够减，我是倒着减的，先用8减3得5，再用10减5得5。因此，13-8=5。这样可以吗？”不等这个学生回答完，其余学生纷纷说道：“不对不对，减法不能倒着减。”这时，我引导学生对这个问题展开了积极的讨论，学生最后一致认为：这样做也是可以的。可见，这样的引导性评价激发了学生思考的热情。
五、开展有用度的过程反思
只有让学生对自己的思考过程进行反思，整合他人的数学思考方法，才能促使学生构建自己新的认知结构，抓住数学的本质所在，从而进行有效的数学思考。在现在的课堂中，很多学生做了完题目就以为完成了任务，缺少对解题过程的主动回顾与反思，从而导致学习效率低。我觉得可在学生解决问题后，再积极引导他们思考：你刚才是怎么思考的？解决问题的关键在哪里？怎样解决问题？每一步在求什么？还有不同的解题方法吗？开展这样的回顾与反思，既能深化学生的数学思考，又能够培养学生的解决问题能力和反思意识。
六、落实有厚度的实践应用
解决实际生活中的数学问题是学习数学知识的出发点和归宿。数学教学既要使学生获得扎实的基础知识和基本技能，又要使学生形成用数学思想方法去分析和解决实际问题的意识，增强学生应用数学知识的意识与能力。课程改革以来，数学教学虽然得到了前所未有的重视，但在应用中也出现了一些值得注意的问题。如教完“路程问题”后，教师就出示习题“一辆车从甲地开往乙地，每小时行驶165千米，行驶了12小时。甲地到乙地共有多少千米？”让学生进行计算，全然不顾及现实生活中此车严重超速及司机已属疲劳驾驶，违反交通法规的事实。可见，一些教师已经忘记了数学应用的目的及价值。因此，数学教学应回归生活，摈弃形式上的盲从，多组织一些实践性活动，从而激发学生数学思考的热情，促进学生思维的发展。
例如，教学“平面图形的面积计算”后，教师应增设一堂测量实践课，使学生不仅能计算课本中提及的平面图形的面积，而且能求出生活中不同形状的图形的面积。教学“长方体的表面积”后，可启发学生思考并实践：若要将12盒牛奶包装成一箱，你能设计出几种包装方案？商场里12盒一箱的牛奶又是怎样包装的？为何这样包装？在一个个问题的引导下，学生有思考、有实践，灵活运用知识解决问题的能力得到了培养，同时又在问题解决中体会到了学习数学的价值。
总之，数学思考是富有挑战性的深层智力活动，是学生对数学对象的理性认识过程。作为数学教师，要将数学思考贯穿整个数学教学过程，有效落实“数学思考”课程目标，从而实现学生数学能力的有效提升。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2] 杨晓荣，张梅香.让思考贯穿数学学习的全过程[J].教学与管理，2005（7）.
[3] 丁宜林.落实数学思考课程目标的探究[J].上海教育科研，2013（12）.
[4] 周錫华.有效促进学生“数学思考”的几个策略[J].小学数学教育，2011（5）.
[5] 束德美.让操作活动与数学思考同行[J].小学教学参考，2013（2）.
（责编 黄春香）