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【摘 要】本文结合高中数学教学中学生出错这一生成性资源的有效利用案例，指出教师应凭借着教学智慧寻找到错误根源，因时制宜指导学生在合作交流中发现错误、解决错误并能举一反三，以此提升数学素养。
【关键词】高中数学；错误资源；有效利用
事与愿违
教学概率问题时，我在黑板上出示了这样一道题：甲、乙两名同学解同一道数学题，每个人解出的概率都是0.7，求至少有一个人解出这道题的概率。
学生解答时，我通过巡视，发现不少学生求到的结果是0.4。我询问了一个学生，他的思路是这样的：因为两人解出的概率都是0.7，所以解不出的概率都是1-0.7=0.3，从而得出两人都解不出的概率是0.3+0.3=0.6，进而求出至少有一人解出这道题的概率是1-0.6=0.4。显然，这个答案是错误的，因为他混淆了“互斥事件”与“对立事件”。
这样的题目以往也有学生解答错误，我采用了让做对的同学讲正确的解法，对解答错误的学生进行诸如“以后审题要仔细”、“连这种题都不会做，以后怎么考试”的教育方法。我以为学生在教师的批评教育下不会再犯类似错误，现在看来，这种教育方法收效甚微。
因事制宜
我决定换一种教学方法。于是，我把学生的错误解答出示在黑板上，不少学生马上说这种解答方法错了。我问：“是不是错了，我们得说出道理来呀。哪位同学愿意说说这种解答方法错在哪里？”
小A说：“这种解法把互斥事件和对立事件混淆了，这是一道有关对立事件的问题。”不少同学附和。
我又问：“那么对立事件和互斥事件有什么联系和区别呢？”
小B说：“两个事件互斥表明这两个事件不能同时发生，就是最多有一个发生，也可以是两个都不发生。对立事件则表示这两个情况有且只有一个发生。”
小C说：“两个事件对立，他们肯定互斥；但两个事件互斥他们不一定对立。”
我接着问：“那这一题该怎样解答呢？”
小D说：“因为两人至少有一人解答出与两人都不能解答出是对立事件。要求两人至少有一个人解出这道题的概率，我们可以思考这个问题的对立面，也就是两人都解答不出的概率。”
我夸赞道：“这个思路非常清晰，两人都解答不出的概率大家会求吗？”
很多学生跃跃欲试，小E说：“因为两人独立解答出的概率都是0.7，则两人解答不出的概率都是1-0.7=0.3，这样可以求出两人同时解答不出的概率为0.3×0.3=0.09，最后可以求出至少有一个解答出的概率为1-0.09=0.91。”
这时，不少同学恍然大悟，连连点头。
我又出了这样一道题：“甲乙去打靶，甲命中的概率为0.8，乙命中的概率为0.7，如果两人射同一个目标，则同时命中的概率为（ ），都没有命中的概率为（ ），至少有一个命中的概率为（ ）。因为有了刚才的讨论，学生绝大部分能解答出。
事后诸葛
人非圣贤，孰能无过？审视当下的课堂，不少教师力求完美，为避免学生出错，教学时竭力把知识细化，甚至不惜做了大量的知识铺垫，恨不得把答案送到学生的嘴边。出错是学生的权利，让学生在解决错误中成长是最自然，也是最有效的成长方式。我不由想起自己上小学时，数学老师看到我计算24×5得到错误的结果100，并没有批评，而是在黑板上写了25×4和24×5两个算式，让我分别计算并比较，再说说出错的原因。我对老师的教学至今记忆犹新。
要想让学生少犯同样的错误，教师首先要营造宽松的课堂氛围，建立民主、平等的师生关系，对学生出现的错误要多一份包容，要让学生敢于暴露自己的思维过程，这样教师才能真正找到问题的症结所在。如果教师高高在上，脑海盘旋的是“这么简单的问题都不会”的想法，看到学生有错误，就“张飞怒吼”，有时还会让学生罚抄几十遍甚至上百遍，美其名曰“长记性”，那学生必定会战战兢兢、小心翼翼，背后肯定是怨声载道。这样的教学既没教好书，也没育好人，断不可取。
英国心理学家贝恩布里奇说：“错误人皆有之，作为教师不利用是不可原谅的。”作为教师，要充分把握住学生出错这一生成性资源，运用自己的教学智慧找到学生出错的原因，判断出错误的价值大小，是否具有普遍性。例如对概率这一章教学，教师要能辨别出学生存在的错误是属于“运用概念与法则公式的错误”，还是“运用数学思想方法的错误”，抑或是“思维定势错误”。教师要帮助学生树立纠错追因意识，通过合作学习等方式，让学生一起来发现错误，找到错误的核心。如“投掷两个骰子，求所得点数之和为7的概率”一题，有学生求到结果是1/11。教师要能判断出这是因为学生对“非等可能”与“等可能”理解的错误。找到问题后，教师可以通过让学生一一列举、分类，明确不同的点数和发生的概率是不一样的。因为有大家合作交流的过程，学生对存在的问题容易有全面、深刻的理解，以后犯类似错误的几率会大为降低。
曾经读到一则故事：有个果农的苹果在成熟期经历了一场冰雹，大红苹果被打得遍体鳞伤，预订的销售合同可能无法完成，这本是一次极大的损失。但果农发现这些受伤的苹果比以前更加甜脆爽口，于是在每箱苹果中附上纸片：这是冰雹打击过的苹果，是高原苹果的特殊标记，它具有妙不可言的果糖味道，由此打开了销路，取得意想不到的效果。我们教师也应该像那位果农那样，用智慧的心灵感悟缺陷，让“伤口”开出美丽的花。
【参考文献】
[1]麦楚文.数学课堂教学中有效利用“错误”资源的策略 高中数学教与学.2011.16
[2]赵绪昌 杜林 数学教学中“错误资源”的有效教学策略 中学数学杂志（高中版）.2010.6
[3]朱献伟 变错误为有效促进学生发展的资源 数学学习与研究（教研版）.2009.2
（作者单位：江苏省南通市通州区三余中学）
【关键词】高中数学；错误资源；有效利用
事与愿违
教学概率问题时，我在黑板上出示了这样一道题：甲、乙两名同学解同一道数学题，每个人解出的概率都是0.7，求至少有一个人解出这道题的概率。
学生解答时，我通过巡视，发现不少学生求到的结果是0.4。我询问了一个学生，他的思路是这样的：因为两人解出的概率都是0.7，所以解不出的概率都是1-0.7=0.3，从而得出两人都解不出的概率是0.3+0.3=0.6，进而求出至少有一人解出这道题的概率是1-0.6=0.4。显然，这个答案是错误的，因为他混淆了“互斥事件”与“对立事件”。
这样的题目以往也有学生解答错误，我采用了让做对的同学讲正确的解法，对解答错误的学生进行诸如“以后审题要仔细”、“连这种题都不会做，以后怎么考试”的教育方法。我以为学生在教师的批评教育下不会再犯类似错误，现在看来，这种教育方法收效甚微。
因事制宜
我决定换一种教学方法。于是，我把学生的错误解答出示在黑板上，不少学生马上说这种解答方法错了。我问：“是不是错了，我们得说出道理来呀。哪位同学愿意说说这种解答方法错在哪里？”
小A说：“这种解法把互斥事件和对立事件混淆了，这是一道有关对立事件的问题。”不少同学附和。
我又问：“那么对立事件和互斥事件有什么联系和区别呢？”
小B说：“两个事件互斥表明这两个事件不能同时发生，就是最多有一个发生，也可以是两个都不发生。对立事件则表示这两个情况有且只有一个发生。”
小C说：“两个事件对立，他们肯定互斥；但两个事件互斥他们不一定对立。”
我接着问：“那这一题该怎样解答呢？”
小D说：“因为两人至少有一人解答出与两人都不能解答出是对立事件。要求两人至少有一个人解出这道题的概率，我们可以思考这个问题的对立面，也就是两人都解答不出的概率。”
我夸赞道：“这个思路非常清晰，两人都解答不出的概率大家会求吗？”
很多学生跃跃欲试，小E说：“因为两人独立解答出的概率都是0.7，则两人解答不出的概率都是1-0.7=0.3，这样可以求出两人同时解答不出的概率为0.3×0.3=0.09，最后可以求出至少有一个解答出的概率为1-0.09=0.91。”
这时，不少同学恍然大悟，连连点头。
我又出了这样一道题：“甲乙去打靶，甲命中的概率为0.8，乙命中的概率为0.7，如果两人射同一个目标，则同时命中的概率为（ ），都没有命中的概率为（ ），至少有一个命中的概率为（ ）。因为有了刚才的讨论，学生绝大部分能解答出。
事后诸葛
人非圣贤，孰能无过？审视当下的课堂，不少教师力求完美，为避免学生出错，教学时竭力把知识细化，甚至不惜做了大量的知识铺垫，恨不得把答案送到学生的嘴边。出错是学生的权利，让学生在解决错误中成长是最自然，也是最有效的成长方式。我不由想起自己上小学时，数学老师看到我计算24×5得到错误的结果100，并没有批评，而是在黑板上写了25×4和24×5两个算式，让我分别计算并比较，再说说出错的原因。我对老师的教学至今记忆犹新。
要想让学生少犯同样的错误，教师首先要营造宽松的课堂氛围，建立民主、平等的师生关系，对学生出现的错误要多一份包容，要让学生敢于暴露自己的思维过程，这样教师才能真正找到问题的症结所在。如果教师高高在上，脑海盘旋的是“这么简单的问题都不会”的想法，看到学生有错误，就“张飞怒吼”，有时还会让学生罚抄几十遍甚至上百遍，美其名曰“长记性”，那学生必定会战战兢兢、小心翼翼，背后肯定是怨声载道。这样的教学既没教好书，也没育好人，断不可取。
英国心理学家贝恩布里奇说：“错误人皆有之，作为教师不利用是不可原谅的。”作为教师，要充分把握住学生出错这一生成性资源，运用自己的教学智慧找到学生出错的原因，判断出错误的价值大小，是否具有普遍性。例如对概率这一章教学，教师要能辨别出学生存在的错误是属于“运用概念与法则公式的错误”，还是“运用数学思想方法的错误”，抑或是“思维定势错误”。教师要帮助学生树立纠错追因意识，通过合作学习等方式，让学生一起来发现错误，找到错误的核心。如“投掷两个骰子，求所得点数之和为7的概率”一题，有学生求到结果是1/11。教师要能判断出这是因为学生对“非等可能”与“等可能”理解的错误。找到问题后，教师可以通过让学生一一列举、分类，明确不同的点数和发生的概率是不一样的。因为有大家合作交流的过程，学生对存在的问题容易有全面、深刻的理解，以后犯类似错误的几率会大为降低。
曾经读到一则故事：有个果农的苹果在成熟期经历了一场冰雹，大红苹果被打得遍体鳞伤，预订的销售合同可能无法完成，这本是一次极大的损失。但果农发现这些受伤的苹果比以前更加甜脆爽口，于是在每箱苹果中附上纸片：这是冰雹打击过的苹果，是高原苹果的特殊标记，它具有妙不可言的果糖味道，由此打开了销路，取得意想不到的效果。我们教师也应该像那位果农那样，用智慧的心灵感悟缺陷，让“伤口”开出美丽的花。
【参考文献】
[1]麦楚文.数学课堂教学中有效利用“错误”资源的策略 高中数学教与学.2011.16
[2]赵绪昌 杜林 数学教学中“错误资源”的有效教学策略 中学数学杂志（高中版）.2010.6
[3]朱献伟 变错误为有效促进学生发展的资源 数学学习与研究（教研版）.2009.2
（作者单位：江苏省南通市通州区三余中学）