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一、对概念把握不准
例1 对以下两种说法:①0是最小的整数;②-1是最大的负数.其中判断正确的是( ).
A.①对②错 B.①错②对
C.①②都对 D.①②都错
错解:C.
错因分析:整数包括正整数、0和负整数,其中负整数都小于0,所以①错误;负数可以是负整数,也可以是负分数,或是其他形式的负小数,其中负的真分数(或负的纯小数)都大于-1,如->-1 ,-0.37>-1,所以②错误.
正解:D.
点拨:正确理解整数、负数的概念是解题的关键.
例2 2009年10月11日,第十一届全运会在美丽的泉城济南召开.奥体中心由体育场,体育馆、游泳馆、网球馆,综合服务楼三组建筑组成,呈“三足鼎立”、“东荷西柳”布局.建筑面积约为3.60×105平方米,这个用科学记数法表示的建筑面积有______个有效数字,精确到_______位.
错解:近似数3.60×105有2个有效数字,精确到百分位.
错因分析:在近似数3.60×105中,乘号前面的三个数字3、6、0都是它的有效数字;把3.60×105写成360 000后可以发现,乘号前面的0的实际数位是千位.
正解:近似数3.60×105有3个有效数字,精确到千位.
点拨:有效数字是指从一个近似数第一个不是0的数字开始,一直到这个数的最后一位所有的数字.如果近似数的末位为0,也应算作有效数字.由此,可以看出近似数末位的0对精确度的影响.判断一个用科学记数法表示的近似值中有多少个有效数字,只看乘号前面的数字即可,与乘号后面10的指数无关.
二、忽视分类讨论
例3下列说法:① - a表示的数是负数;②a2的值一定是正数;③-(-a)2的相反数等于a2.其中正确说法的序号为____________.
错解:①②③.
错因分析:a的取值不确定,如果a为正数,则-a为负数;如果a为0,则-a=0,既不是正数,也不是负数;如果a是负数,则-a为正数.因此,说法①是错误的.同理,如果a为正数,则a2值一定是正数;如果a=0,则a2=0;如果a为负数,则a2值一定是正数,所以②不对.因为-(-a)2=-a2,所以它的相反数是a2,可见③是正确的.
正解:③.
点拨:字母a可以表示任何一个正数、负数或者0,所以在没有特别说明的情况下,对于字母a要分类讨论各种可能出现的情况.
例4 若m>n,且m=4,n=3,则(m+n)2= .
错解:(m+n)2=(4+3)2=72=49.
错因分析:因为m=4,所以m=4或-4.因为n=3,所以n=3或-3.错解只考虑到m=4,n=3时的情况,忽视了另外一种情况,即当m=4,n=-3时,也符合m>n的条件,(m+n)2=(4-3)2=12=1.
正解:49或1.
点拨:涉及到绝对值的问题时,由于互为相反数的两个数的绝对值相等,所以条件中的字母取值往往具有不确定性,导致很多时候须要进行分类讨论.
三、计算出错
例5计算:-32-(-3)2 .
错解1: 原式=9-9=0.
错解2: 原式=-32+32=-9+9=0 .
错因分析:以上两种解法因计算过程中出现错误,导致结果也是错误的.错解1没有分清两个平方的底数,-32表示底数3的平方幂的相反数,结果为-9;而(-3)2表示底数-3的平方幂,结果为9;而错解2把(-3)2这个整体割裂开,把底数-3与前面的“-”混同于-(-3).
正解: 原式=-9-9=-18.
点拨:在解负数、指数、括号的混合问题时,要正确使用运算法则,明确各种运算符号的作用.
例6计算:60÷(-).
错解:原式=60÷-60÷
=60×-60×
=144-80=64.
错因分析:以上解法把减法看成代数和的形式,误把分配律运用到除法里.
正解:原式=60÷(-)
=60÷(-)
=60×(-3) =-180.
点拨:数学概念、性质、公式、定理等的使用前提是很严格的,只有在特定情况下才能加以应用.
四、审题不细
例7李老师从油条的制作中受到启发,设计了一个数学问题:如图1,在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB,对折后(点A与B 重合)再均匀地拉成1个单位长度的线段,这一过程称为一次操作(如在第一次操作后,原线段AB上的、均变成,变成1,等).那么在线段AB上(除A,B)的点中,在第二次操作后,恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和是________.
错解:.
错因分析:出错的原因是没有读懂题意,把与1的和当成了所求结果.我们可以把两次操作后的情况用图2表示出来,可见被拉到与1重合的点所对应的数是与,它们的和为
正解:1.
点拨:这道新颖的数轴操作问题向我们展示了数形结合思想的妙用.解决此类问题,可以通过画图说明和线绳操作等方式进行分析,以直观的方式取代抽象的叙述,避免因空间观念不足造成失误.
例1 对以下两种说法:①0是最小的整数;②-1是最大的负数.其中判断正确的是( ).
A.①对②错 B.①错②对
C.①②都对 D.①②都错
错解:C.
错因分析:整数包括正整数、0和负整数,其中负整数都小于0,所以①错误;负数可以是负整数,也可以是负分数,或是其他形式的负小数,其中负的真分数(或负的纯小数)都大于-1,如->-1 ,-0.37>-1,所以②错误.
正解:D.
点拨:正确理解整数、负数的概念是解题的关键.
例2 2009年10月11日,第十一届全运会在美丽的泉城济南召开.奥体中心由体育场,体育馆、游泳馆、网球馆,综合服务楼三组建筑组成,呈“三足鼎立”、“东荷西柳”布局.建筑面积约为3.60×105平方米,这个用科学记数法表示的建筑面积有______个有效数字,精确到_______位.
错解:近似数3.60×105有2个有效数字,精确到百分位.
错因分析:在近似数3.60×105中,乘号前面的三个数字3、6、0都是它的有效数字;把3.60×105写成360 000后可以发现,乘号前面的0的实际数位是千位.
正解:近似数3.60×105有3个有效数字,精确到千位.
点拨:有效数字是指从一个近似数第一个不是0的数字开始,一直到这个数的最后一位所有的数字.如果近似数的末位为0,也应算作有效数字.由此,可以看出近似数末位的0对精确度的影响.判断一个用科学记数法表示的近似值中有多少个有效数字,只看乘号前面的数字即可,与乘号后面10的指数无关.
二、忽视分类讨论
例3下列说法:① - a表示的数是负数;②a2的值一定是正数;③-(-a)2的相反数等于a2.其中正确说法的序号为____________.
错解:①②③.
错因分析:a的取值不确定,如果a为正数,则-a为负数;如果a为0,则-a=0,既不是正数,也不是负数;如果a是负数,则-a为正数.因此,说法①是错误的.同理,如果a为正数,则a2值一定是正数;如果a=0,则a2=0;如果a为负数,则a2值一定是正数,所以②不对.因为-(-a)2=-a2,所以它的相反数是a2,可见③是正确的.
正解:③.
点拨:字母a可以表示任何一个正数、负数或者0,所以在没有特别说明的情况下,对于字母a要分类讨论各种可能出现的情况.
例4 若m>n,且m=4,n=3,则(m+n)2= .
错解:(m+n)2=(4+3)2=72=49.
错因分析:因为m=4,所以m=4或-4.因为n=3,所以n=3或-3.错解只考虑到m=4,n=3时的情况,忽视了另外一种情况,即当m=4,n=-3时,也符合m>n的条件,(m+n)2=(4-3)2=12=1.
正解:49或1.
点拨:涉及到绝对值的问题时,由于互为相反数的两个数的绝对值相等,所以条件中的字母取值往往具有不确定性,导致很多时候须要进行分类讨论.
三、计算出错
例5计算:-32-(-3)2 .
错解1: 原式=9-9=0.
错解2: 原式=-32+32=-9+9=0 .
错因分析:以上两种解法因计算过程中出现错误,导致结果也是错误的.错解1没有分清两个平方的底数,-32表示底数3的平方幂的相反数,结果为-9;而(-3)2表示底数-3的平方幂,结果为9;而错解2把(-3)2这个整体割裂开,把底数-3与前面的“-”混同于-(-3).
正解: 原式=-9-9=-18.
点拨:在解负数、指数、括号的混合问题时,要正确使用运算法则,明确各种运算符号的作用.
例6计算:60÷(-).
错解:原式=60÷-60÷
=60×-60×
=144-80=64.
错因分析:以上解法把减法看成代数和的形式,误把分配律运用到除法里.
正解:原式=60÷(-)
=60÷(-)
=60×(-3) =-180.
点拨:数学概念、性质、公式、定理等的使用前提是很严格的,只有在特定情况下才能加以应用.
四、审题不细
例7李老师从油条的制作中受到启发,设计了一个数学问题:如图1,在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB,对折后(点A与B 重合)再均匀地拉成1个单位长度的线段,这一过程称为一次操作(如在第一次操作后,原线段AB上的、均变成,变成1,等).那么在线段AB上(除A,B)的点中,在第二次操作后,恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和是________.
错解:.
错因分析:出错的原因是没有读懂题意,把与1的和当成了所求结果.我们可以把两次操作后的情况用图2表示出来,可见被拉到与1重合的点所对应的数是与,它们的和为
正解:1.
点拨:这道新颖的数轴操作问题向我们展示了数形结合思想的妙用.解决此类问题,可以通过画图说明和线绳操作等方式进行分析,以直观的方式取代抽象的叙述,避免因空间观念不足造成失误.