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高中数学把既有大小又有方向的量称为向量。向量的概念，向量的表示，向量的运算、性质、定理，应用构成了向量的知识体系。由于向量具有形又具有数的特征，有些几何问题通过转化可以用向量的方式加以解决，它是数形结合的数学思维方法的体现。
向量解决几何的方法
运用向量来推理论证两条直线垂直 比如，证明两条直线垂直，只需写出这两条直线的方向向量。直线垂直，则它们对应的方向向量垂直，两方向向量的数量积为零;反之，若直线的方向向量的数量积为零，则它们对应的直线垂直。
运用向量来推理论证余弦定理 比如，在三角形中，余弦定理的推理论证，利用三角形边长的平方等于这条边对应向量模的平方，而向量模的平方又等于对应向量的平方，这个向量又可写成另外两边对应向量的差的形式，再把向量差的平方展开，即得余弦定理。
运用向量来推理论证两角差的余弦公式 比如，三角函数中，两角差的余弦公式的推理论证：建立平面直角坐标系并做出单位圆，圆心在原点，在单位圆上，任取不同的两个点A和B，设点A的坐标为（cosβ，sinβ），点B的坐标为（cosα，sinα）则向量OA的坐标为（cosβ，sinβ），向量OB的坐标为（cosα，sinα），则向量OA与向量OB的数量积几何表示为两个向量的模与它们夹角的余弦的积，而向量OA与向量OB的数量积的代数表示为cosαcosβ sinαsinβ，因为向量OA和OB均为单位向量，所以他们的模均为1。所以，这两个向量的数量积的几何表示为cos（α-β），显然有cos（α-β）=cosαcosβ sinαsinβ。由这个公式又可以推理论证两角和与差的基本三角函数的公式。
用向量的方法求三角形面积方面 比如，若知道一个三角形的三个顶点的坐标，要求这个三角形的面积，只需从一点出发，写出两条边对应的向量的坐标，这两个向量的横坐标与纵坐标交叉相乘得到的积的差的绝对值的一半即是这个三角形的面积。例如，已知三角形的三个顶点坐标分别为A（-5，0）、B（3，-3）、C（0，2），求这个三角形ABC的面积。解决这个问题，先计算出向量AB的坐标为（8，-3）向量AC的坐标为（5，2），则向量AB与AC坐标交叉相乘的差为8×2-（-3）×5=31，这个数的绝对值的一半即为这个三角形的面积。此题也可以别的方法求解，如：先用两点之间的距离公式，求出三角形其中一边的长度;再用点的这条边所在直线的距离，求出这条边上的高;再用三角形面积公式底边乘以底边上高的一半。这样显然很复杂，而用向量的方法就会非常简单。
运用平面向量证明正弦定理 如图1所示，以A为原点以射线AB的方向为X轴的正方向建立平面直角坐标系。C点在Y轴上的射影为C’，因为向量AC与向量BC在Y轴上的射影均为向量OC’的模，（用OC’表示）。向量0C’的长度等于向量AC长度与角A减去90°差的余弦的乘积，由诱导公式OC’=bcos（A-90℃）=bsinA。过C点做CD垂直X轴交于D，则在直角三角形CDB中，OC’=CD=BCsinB=asinB，所以得bsinA=asinB，即=，同理我们可推导出，=，即==.
用向量的方法推理论证平面上两点的距离 如图2所示，设A（x1，y1），B（x2，y2），则向量AB的坐标为（x2-x1，y2-y1）因为两个相同向量的数量积几何表示为AB长度的平方，而这两个相同向量的数量积的坐标表示为（x2-x1）2 （y2-y1）2，所以AB的长度等于（x2-x1）2 （y2-y1）2的和的算术平方根。
运用向量求点到直线的距离 求点到直线间的距离，若M（Xo，Yo）是平面上一定点，它到直线L：AX BY C=0的距离为d，把点M的坐标分别带入L中得AXo BYo c的绝对值再除以（A2 B2）的算数平方根，此公式的证明是利用直线的法向量与直线上任取一点P，连PM得向量PM通过求直线的法向量与向量PM的数量积，就可以推理论证上述点到直线上距离d的公式。
学习向量的重要意义
在教学向量这章知识时，就要研究透向量的性质、运算、定理，用它去解决上述几何、函数等方面的问题，使学生认识到学习向量的重要意义，才能激发学生学习向量的浓厚兴趣。在高考中，至少有一道5分的选择题，然后在应用题甚至压轴题，通常是向量和其他的知识点综合来出题。综上所述，向量独具知识体系，也是一种重要的数学工具，内容涉及几何、函数等方面，高考也是必考内容，加上与别的知识点结合出题，分值也相对较高，地位独特。数形结合的思想方法，直观明了，所以应引起学生的重视。
（作者单位：江西省新余市渝水一中）
向量解决几何的方法
运用向量来推理论证两条直线垂直 比如，证明两条直线垂直，只需写出这两条直线的方向向量。直线垂直，则它们对应的方向向量垂直，两方向向量的数量积为零;反之，若直线的方向向量的数量积为零，则它们对应的直线垂直。
运用向量来推理论证余弦定理 比如，在三角形中，余弦定理的推理论证，利用三角形边长的平方等于这条边对应向量模的平方，而向量模的平方又等于对应向量的平方，这个向量又可写成另外两边对应向量的差的形式，再把向量差的平方展开，即得余弦定理。
运用向量来推理论证两角差的余弦公式 比如，三角函数中，两角差的余弦公式的推理论证：建立平面直角坐标系并做出单位圆，圆心在原点，在单位圆上，任取不同的两个点A和B，设点A的坐标为（cosβ，sinβ），点B的坐标为（cosα，sinα）则向量OA的坐标为（cosβ，sinβ），向量OB的坐标为（cosα，sinα），则向量OA与向量OB的数量积几何表示为两个向量的模与它们夹角的余弦的积，而向量OA与向量OB的数量积的代数表示为cosαcosβ sinαsinβ，因为向量OA和OB均为单位向量，所以他们的模均为1。所以，这两个向量的数量积的几何表示为cos（α-β），显然有cos（α-β）=cosαcosβ sinαsinβ。由这个公式又可以推理论证两角和与差的基本三角函数的公式。
用向量的方法求三角形面积方面 比如，若知道一个三角形的三个顶点的坐标，要求这个三角形的面积，只需从一点出发，写出两条边对应的向量的坐标，这两个向量的横坐标与纵坐标交叉相乘得到的积的差的绝对值的一半即是这个三角形的面积。例如，已知三角形的三个顶点坐标分别为A（-5，0）、B（3，-3）、C（0，2），求这个三角形ABC的面积。解决这个问题，先计算出向量AB的坐标为（8，-3）向量AC的坐标为（5，2），则向量AB与AC坐标交叉相乘的差为8×2-（-3）×5=31，这个数的绝对值的一半即为这个三角形的面积。此题也可以别的方法求解，如：先用两点之间的距离公式，求出三角形其中一边的长度;再用点的这条边所在直线的距离，求出这条边上的高;再用三角形面积公式底边乘以底边上高的一半。这样显然很复杂，而用向量的方法就会非常简单。
运用平面向量证明正弦定理 如图1所示，以A为原点以射线AB的方向为X轴的正方向建立平面直角坐标系。C点在Y轴上的射影为C’，因为向量AC与向量BC在Y轴上的射影均为向量OC’的模，（用OC’表示）。向量0C’的长度等于向量AC长度与角A减去90°差的余弦的乘积，由诱导公式OC’=bcos（A-90℃）=bsinA。过C点做CD垂直X轴交于D，则在直角三角形CDB中，OC’=CD=BCsinB=asinB，所以得bsinA=asinB，即=，同理我们可推导出，=，即==.
用向量的方法推理论证平面上两点的距离 如图2所示，设A（x1，y1），B（x2，y2），则向量AB的坐标为（x2-x1，y2-y1）因为两个相同向量的数量积几何表示为AB长度的平方，而这两个相同向量的数量积的坐标表示为（x2-x1）2 （y2-y1）2，所以AB的长度等于（x2-x1）2 （y2-y1）2的和的算术平方根。
运用向量求点到直线的距离 求点到直线间的距离，若M（Xo，Yo）是平面上一定点，它到直线L：AX BY C=0的距离为d，把点M的坐标分别带入L中得AXo BYo c的绝对值再除以（A2 B2）的算数平方根，此公式的证明是利用直线的法向量与直线上任取一点P，连PM得向量PM通过求直线的法向量与向量PM的数量积，就可以推理论证上述点到直线上距离d的公式。
学习向量的重要意义
在教学向量这章知识时，就要研究透向量的性质、运算、定理，用它去解决上述几何、函数等方面的问题，使学生认识到学习向量的重要意义，才能激发学生学习向量的浓厚兴趣。在高考中，至少有一道5分的选择题，然后在应用题甚至压轴题，通常是向量和其他的知识点综合来出题。综上所述，向量独具知识体系，也是一种重要的数学工具，内容涉及几何、函数等方面，高考也是必考内容，加上与别的知识点结合出题，分值也相对较高，地位独特。数形结合的思想方法，直观明了，所以应引起学生的重视。
（作者单位：江西省新余市渝水一中）