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数学思维能力主要是指分析与综合、抽象与概括、判断与推理的能力。教学实践证明，把科学的思维方式融于教学内容和教学方法之中，能使学生在接受知识的同时学到一种思维技巧，或接受一次科学思维训练，在不断解决问题的过程中，逐步形成良好的思维品质；而当良好的思维品质形成的时候，对学生思维能力的培养又起到了潜移默化的效果。以下是笔者在数学教学实践中对学生思维能力培养的一些思考和实践探索。
一、通过对同类题目解题方法的指导，培养学生归纳解决问题的能力
对七年级学生来说，让他们掌握某一类型题目的解题方法和步骤是十分重要的。例如，在讲解列方程解应用题时，我们可指出解应用题的一般步骤和方法：审题（画出图形，并把已知量与未知量标入图中）→抓住数量关系（主要抓住已知量与未知量的关系）→列方程（把抽象数学语言译成方程，注意一般情况方程个数应与未知量个数相等）→解方程（消去辅助未知量，求出题中要求的未知量）→检验（写出符合题意的）。
例1：设有质量分数为8％的甲种盐水5kg，加入乙种盐水1kg，丙种盐水2kg后，质量分数变为12％。已知乙种盐水的质量分数是丙种盐水的2倍，求乙、丙两种盐水的质量分数。
第一步，审题。
设丙种盐水的质量分数为x，绘图示意。
第二步，抓住数量关系。
甲的纯盐量为5×8％，乙的纯盐量为1×2x，丙的纯盐量为1×x，混合后的纯盐量为（5+1+2）×12％。
第三步，列方程。
甲、乙、丙混合后的纯盐量＝（5+1+2）×12％，
∴5×8％+1×2x+2x=（5+1+2）×12％。
事实证明，学生通过教师的示范性解法，对于解同一类题，就有着比较好的顺应性和模仿性，这对培养学生的归纳思维能力是十分有益的。
二、为学生提供开放型的题目，培养学生多向、发散思维的能力
教师在课堂上多讲点开放型的练习题，对培养学生的多向思维或者发散思维无疑是有裨益的。
例2：各边长均为整数的不等边三角形的周长不大于13，这样的三角形有多少个？
剖析：注意关键词，①不等边；②不大于13即小于等于13；③两边之和大于第三边。
解：∵最大周长可取13，其中最大边小于其他两边之和，且是整数，
∴最大边取6，其他两边都不能取6，又不能取相同数。
∵只能4、3和5、2，即6、4、3和6、5、2两种，当周长小于13时，则可取5、4、3；5、4、2；4、3、2三种，
∴这样的三角形有5个。
由于开放题具有宽松的解题环境和答案的多样性，决定了它能够满足各种层次水平的学生的需求。解答开放题时，往往没有一般的解题模式可以遵循，有时需要打破原有的思想模式，从多个角度思考问题。解答完问题以后，往往能导出一般的结论或发展成为另一个新的问题，这样的学习有助于培养学生的创造意识和创新能力。
三、通过“一题多变”培养学生综合分析、思考问题的能力
一题多变可使学生从各个角度用辩证的观点去看问题，使学生对问题理解得更全面、更深刻、更透彻，从而培养了学生思维的敏捷性，也提高了分析问题和解决问题的能力。
例3：已知x2+2x-1=0,求x-（1/x）。
解：∵x2+2x-1=0,所以x≠0，方程两边可同时除以x，得x+2-（1/x）=0,
即x-（1/x）=-2。
我们可以将此题进行一题多变：
变式一：已知x2+2x-1=0，求x2+（1/x2）。
解：∵x2+2x-1=0,∴x≠0，方程两边可同时除以x，得x+2-（1/x）=0,
即x-（1/x）=-2，两边平方得[x-（1/x）]2=(-2)2，
即x2-2+（1/x2）=4，
∴x2+（1/x2）=6。
变式二：x2+2x-1=0,求[x+（1/x）]2的值。
解：∵x2+2x-1=0,∴x≠0，方程两边同时除以x，得x+2-（1/x）=0,
即x-（1/x）=-2，两边平方得x2-2
+（1/x2）=4，
∴x2+（1/x2）=6，
∴[x+（1/x）]2=x2+（1/x2）+2=6+2=8。
通过例题的层层变式，学生对完全平方公式的认识又深了一步，有利于培养学生从特殊到一般、从具体到抽象的分析问题和解决问题的能力；通过例题解法多变的教学能帮助学生形成思维定势，而又打破思维定势，有利于培养思维的变通性和灵活性。
四、一般“变”为特殊，再从特殊“变”回一般，培养学生思维的敏捷性和灵活性
对教学中某些问题的论证，如正面攻不下，可改变方法，先考虑欲证结论中的某些特殊的或极端的情形，而这些特殊或极端的情形，或是我们熟知的或是我们很容易证明的，然后以这些特殊或极端的情形为出发点，分析特殊情形与一般情形的差异和引起这些差异的原因，然后再向一般情形进行逻辑推理，创设条件，化难为易。
例4：已知弦AB，CD相交于G，且AB⊥CD，求证：AG2+BG2+CG2+DG2是定值。
分析：先考虑G与圆心重合时的情况，易得定值为4R2（R为⊙O的半径），由此联想把GB、GA、GD与⊙O的四条半径OA、OB、OC、OD联系起来，这是思维的必然趋势。
略证：在RtOAE中（如图），
（AG+GE）2+OE2=AG2+2AG·GE+GE2+
GF2=R2……①
同理，BG2-2BG·GE+GE2+
GF2=R2……②
又∵BG-AG=2GE，①+②得：AG2+BG2-ZGB2+ZGF2=2R2……③
同理，CG2+DG2-2GF2+2GE2=2R2 ……④
③+④得：AG2+BG2+CG2+DG2=4R2。
此题还可以推广到G在⊙O外的情形。
五、在创设问题情境的过程中，培养学生数学知识与生活实际相结合的思维能力
例5：将进货单价为40元的商品按50元售出时，一周内能卖500件。如果该商品每涨价1元时，其销售量就减少10件，为了赚8000元利润，售价应定为多少元?这时应进货多少件？
经过师生分析讨论，很快得出此营销问题的解决方案：设商品定价为（50+x），则每件商品得利润为[（50+x）-40]元，因每涨1元，其销售量会减少10件，则每件涨价x元时，其销售量就减少10x件，故销售量为（500-10x）件，为赚得8000元利润，则应有[（50+x）-40]（500-10x）=8000，解得x1=10，x2=30；当x=10时，50+x=
60，500-10x=400；当x=30时，50+x=
80，500-10x=200。（均符合题意。）
所以要想赚8000元，可使售价定为60元，则进货量为400件或售价定为80元，则进货量相应为200件。
本题到这应该可以结束了，可教师又提出了新的问题：本题的解决方案有两个，即方案一：售价定为60元，进货量为400件；方案二：售价定为80元，进货量为200件。假如你是该商品的经销者，你觉得哪个方案更好呢？
学生讨论，结果分成两派，竟各占一半。
师：既然大家意见这么不一致，那么我们现在就这个问题展开辩论，看最终谁能获胜。现在请你们叙述各自的理由。
学生（甲方）：我们认为应选择方案一，因为方案一价格低，消费者会更多地选择。采用方案一的商家，能增加销量，从而增加利润。
学生（乙方）：我们不同意，因为题目中的情境已经限定，这两种方案都将获得8000元，我们认为应选择方案二，因为方案二的进货量少，投入的资金成本低。
师：对，本题的定价与销售量题目中已经设定好，大家应在设定范围内讨论，乙方能从经营成本的角度考虑这个问题，有道理，很好。这一轮我认为是乙方胜！不知甲方如何看待？
学生（甲方）：方案一虽然投入资金成本高一些，但方案一的价格低，消费者多，会促进本店其它商品的销售，带来综合效益的提高。
师：很好，甲方同学能从商店的综合效益出发，提出了对这个问题的看法，大家是不是觉得很有道理？
学生（乙方）：甲方的观点虽有一定道理，但方案二不仅投入的进货成本低，而且由于进货量少，从而带来其它费用如运输费、库存费等也少，这样可把节省下来的资金用于其它投资，再产生新的利润，因此从综合效益看也是可取的；另外，从利润率来看，方案一的利润率为50%，方案二的利润率为100%，故我们坚持认为方案二好。
师：好！乙方同学不仅从综合效益的角度坚持了他们的观点，而且用数学方法从另一个角度——利润率来阐述他们的观点，相当好。你们说是不是该判乙方获胜呢？不过，我相信甲方同学一定还有新的理由！
学生（甲方）：我们不同意他们获胜，方案一的短期效益可能不及方案二，但从长期效益来看消费者会以为采用方案一价格公道，而方案二利润率达100%，有暴利的嫌疑……
真是仁者见仁，智者见智，讨论已经超出了数学的范畴。在这一问题的解决中，学生更重要的是学会了辩证地看待问题的方法。
总之，数学教学过程中培养学生的思维能力的途径还有很多，如通过反证法、归纳法、一题多解等教学策略都可以培养学生的逻辑思维能力。当然，几何方面的比重稍大些，但在代数、三角函数等教学中同样要重视学生思维能力的培养。只要我们坚持不懈，一定会收到很好的成效。[e]
（浙江省富阳市东洲中学 311411）
一、通过对同类题目解题方法的指导，培养学生归纳解决问题的能力
对七年级学生来说，让他们掌握某一类型题目的解题方法和步骤是十分重要的。例如，在讲解列方程解应用题时，我们可指出解应用题的一般步骤和方法：审题（画出图形，并把已知量与未知量标入图中）→抓住数量关系（主要抓住已知量与未知量的关系）→列方程（把抽象数学语言译成方程，注意一般情况方程个数应与未知量个数相等）→解方程（消去辅助未知量，求出题中要求的未知量）→检验（写出符合题意的）。
例1：设有质量分数为8％的甲种盐水5kg，加入乙种盐水1kg，丙种盐水2kg后，质量分数变为12％。已知乙种盐水的质量分数是丙种盐水的2倍，求乙、丙两种盐水的质量分数。
第一步，审题。
设丙种盐水的质量分数为x，绘图示意。
第二步，抓住数量关系。
甲的纯盐量为5×8％，乙的纯盐量为1×2x，丙的纯盐量为1×x，混合后的纯盐量为（5+1+2）×12％。
第三步，列方程。
甲、乙、丙混合后的纯盐量＝（5+1+2）×12％，
∴5×8％+1×2x+2x=（5+1+2）×12％。
事实证明，学生通过教师的示范性解法，对于解同一类题，就有着比较好的顺应性和模仿性，这对培养学生的归纳思维能力是十分有益的。
二、为学生提供开放型的题目，培养学生多向、发散思维的能力
教师在课堂上多讲点开放型的练习题，对培养学生的多向思维或者发散思维无疑是有裨益的。
例2：各边长均为整数的不等边三角形的周长不大于13，这样的三角形有多少个？
剖析：注意关键词，①不等边；②不大于13即小于等于13；③两边之和大于第三边。
解：∵最大周长可取13，其中最大边小于其他两边之和，且是整数，
∴最大边取6，其他两边都不能取6，又不能取相同数。
∵只能4、3和5、2，即6、4、3和6、5、2两种，当周长小于13时，则可取5、4、3；5、4、2；4、3、2三种，
∴这样的三角形有5个。
由于开放题具有宽松的解题环境和答案的多样性，决定了它能够满足各种层次水平的学生的需求。解答开放题时，往往没有一般的解题模式可以遵循，有时需要打破原有的思想模式，从多个角度思考问题。解答完问题以后，往往能导出一般的结论或发展成为另一个新的问题，这样的学习有助于培养学生的创造意识和创新能力。
三、通过“一题多变”培养学生综合分析、思考问题的能力
一题多变可使学生从各个角度用辩证的观点去看问题，使学生对问题理解得更全面、更深刻、更透彻，从而培养了学生思维的敏捷性，也提高了分析问题和解决问题的能力。
例3：已知x2+2x-1=0,求x-（1/x）。
解：∵x2+2x-1=0,所以x≠0，方程两边可同时除以x，得x+2-（1/x）=0,
即x-（1/x）=-2。
我们可以将此题进行一题多变：
变式一：已知x2+2x-1=0，求x2+（1/x2）。
解：∵x2+2x-1=0,∴x≠0，方程两边可同时除以x，得x+2-（1/x）=0,
即x-（1/x）=-2，两边平方得[x-（1/x）]2=(-2)2，
即x2-2+（1/x2）=4，
∴x2+（1/x2）=6。
变式二：x2+2x-1=0,求[x+（1/x）]2的值。
解：∵x2+2x-1=0,∴x≠0，方程两边同时除以x，得x+2-（1/x）=0,
即x-（1/x）=-2，两边平方得x2-2
+（1/x2）=4，
∴x2+（1/x2）=6，
∴[x+（1/x）]2=x2+（1/x2）+2=6+2=8。
通过例题的层层变式，学生对完全平方公式的认识又深了一步，有利于培养学生从特殊到一般、从具体到抽象的分析问题和解决问题的能力；通过例题解法多变的教学能帮助学生形成思维定势，而又打破思维定势，有利于培养思维的变通性和灵活性。
四、一般“变”为特殊，再从特殊“变”回一般，培养学生思维的敏捷性和灵活性
对教学中某些问题的论证，如正面攻不下，可改变方法，先考虑欲证结论中的某些特殊的或极端的情形，而这些特殊或极端的情形，或是我们熟知的或是我们很容易证明的，然后以这些特殊或极端的情形为出发点，分析特殊情形与一般情形的差异和引起这些差异的原因，然后再向一般情形进行逻辑推理，创设条件，化难为易。
例4：已知弦AB，CD相交于G，且AB⊥CD，求证：AG2+BG2+CG2+DG2是定值。
分析：先考虑G与圆心重合时的情况，易得定值为4R2（R为⊙O的半径），由此联想把GB、GA、GD与⊙O的四条半径OA、OB、OC、OD联系起来，这是思维的必然趋势。
略证：在RtOAE中（如图），
（AG+GE）2+OE2=AG2+2AG·GE+GE2+
GF2=R2……①
同理，BG2-2BG·GE+GE2+
GF2=R2……②
又∵BG-AG=2GE，①+②得：AG2+BG2-ZGB2+ZGF2=2R2……③
同理，CG2+DG2-2GF2+2GE2=2R2 ……④
③+④得：AG2+BG2+CG2+DG2=4R2。
此题还可以推广到G在⊙O外的情形。
五、在创设问题情境的过程中，培养学生数学知识与生活实际相结合的思维能力
例5：将进货单价为40元的商品按50元售出时，一周内能卖500件。如果该商品每涨价1元时，其销售量就减少10件，为了赚8000元利润，售价应定为多少元?这时应进货多少件？
经过师生分析讨论，很快得出此营销问题的解决方案：设商品定价为（50+x），则每件商品得利润为[（50+x）-40]元，因每涨1元，其销售量会减少10件，则每件涨价x元时，其销售量就减少10x件，故销售量为（500-10x）件，为赚得8000元利润，则应有[（50+x）-40]（500-10x）=8000，解得x1=10，x2=30；当x=10时，50+x=
60，500-10x=400；当x=30时，50+x=
80，500-10x=200。（均符合题意。）
所以要想赚8000元，可使售价定为60元，则进货量为400件或售价定为80元，则进货量相应为200件。
本题到这应该可以结束了，可教师又提出了新的问题：本题的解决方案有两个，即方案一：售价定为60元，进货量为400件；方案二：售价定为80元，进货量为200件。假如你是该商品的经销者，你觉得哪个方案更好呢？
学生讨论，结果分成两派，竟各占一半。
师：既然大家意见这么不一致，那么我们现在就这个问题展开辩论，看最终谁能获胜。现在请你们叙述各自的理由。
学生（甲方）：我们认为应选择方案一，因为方案一价格低，消费者会更多地选择。采用方案一的商家，能增加销量，从而增加利润。
学生（乙方）：我们不同意，因为题目中的情境已经限定，这两种方案都将获得8000元，我们认为应选择方案二，因为方案二的进货量少，投入的资金成本低。
师：对，本题的定价与销售量题目中已经设定好，大家应在设定范围内讨论，乙方能从经营成本的角度考虑这个问题，有道理，很好。这一轮我认为是乙方胜！不知甲方如何看待？
学生（甲方）：方案一虽然投入资金成本高一些，但方案一的价格低，消费者多，会促进本店其它商品的销售，带来综合效益的提高。
师：很好，甲方同学能从商店的综合效益出发，提出了对这个问题的看法，大家是不是觉得很有道理？
学生（乙方）：甲方的观点虽有一定道理，但方案二不仅投入的进货成本低，而且由于进货量少，从而带来其它费用如运输费、库存费等也少，这样可把节省下来的资金用于其它投资，再产生新的利润，因此从综合效益看也是可取的；另外，从利润率来看，方案一的利润率为50%，方案二的利润率为100%，故我们坚持认为方案二好。
师：好！乙方同学不仅从综合效益的角度坚持了他们的观点，而且用数学方法从另一个角度——利润率来阐述他们的观点，相当好。你们说是不是该判乙方获胜呢？不过，我相信甲方同学一定还有新的理由！
学生（甲方）：我们不同意他们获胜，方案一的短期效益可能不及方案二，但从长期效益来看消费者会以为采用方案一价格公道，而方案二利润率达100%，有暴利的嫌疑……
真是仁者见仁，智者见智，讨论已经超出了数学的范畴。在这一问题的解决中，学生更重要的是学会了辩证地看待问题的方法。
总之，数学教学过程中培养学生的思维能力的途径还有很多，如通过反证法、归纳法、一题多解等教学策略都可以培养学生的逻辑思维能力。当然，几何方面的比重稍大些，但在代数、三角函数等教学中同样要重视学生思维能力的培养。只要我们坚持不懈，一定会收到很好的成效。[e]
（浙江省富阳市东洲中学 311411）