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函数的奇偶性是函数的十分重要的性质，它是反映函数本质的特征之一，它与函数其它性质联系也较广泛，下面我就函数奇偶性复习谈一点做法：
一、 必须在定义域中来研究函数的奇偶性
例1 判别下列函数的奇偶性
(1) f(x)=(1+x)1-x1+x；(2) g(x)=lg(1-x2)｜x+2｜-2．
解：(1) ∵函数定义域为｛x｜－1＜x≤1}
∴它不关于数轴上原点对称，故f（x）是非奇非偶函数
(2) ∵函数定义域为1-x2＞0｜x+2｜-2≠0
∴其定义域为｛x｜－1＜x＜1且x≠0}
此时g(x)=lg(1-x2)(x+2)-2=lg(1-x2)x
可验证g（x）是奇函数
二、 证明函数的奇偶性时，要对函数（或证明函数奇偶性过程中）加以化简或转化
例2 判断下列函数奇偶性
(1) f(x)=lg(x2+1-x)；(2) g(x)=axax+1-12（a＞0且a≠0）．
解：(1) f(x)=lg(x2+1-x)可知定义域为R
∴f(-x)=lg(x2+1-(-x)=lg(x2+1+x)=lg(x2+1-x)-1
=-lg(x2+1-x)=-f(x)
∴函数f（x）R上为奇函数
(2) g(x)=axax+1-12
∴g(x)=ax-12(ax+1)，定义域为R
又g(-x)=a-x-12(a-x+1)=1ax-121+1ax+1=1-ax2(1+ax)=-g(x)
∴函数g（x）为R上奇函数
三、 会利用图象来形象地判断函数的奇偶性
例3 判断下列函数奇偶性：f(x)=-x2+2x+1,x＞0x2+2x-1,x＜0．
解：y＝f（x）的图象为右图，
可知它关于原点对称
∴该函数是奇函数
四、 会证明抽象函数的奇偶性
类型（一）：用赋值法产生“f（0）”
例4 定义R上函数f（x），对任意x1，x2均有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2），求f（x）奇偶性．
解：令x1＝x2＝0，则f（0）＝f（0＋0）＝f（0）＋f（0）＝2f（0）
∴f（0）＝0
∴0＝f（0）＝f［x＋（－x）］＝f（x）＋f（－x）
∴得f（－x）＝－f（x）
∴f（x）为R上奇函数
类型（二）：用赋值法产生“f（－1）”
例5 已知定义域为D＝｛x｜x≠0｝上函数f（x），对x1，x2∈D均有f（x1•x2）＝f（x1）＋f（x2），求f（x）奇偶性．
解：令x1＝x2＝1，得f（1）＝f（1•1）＝f（1）＋f（1）f（1）＝0
∴f（1）＝f（－1×（－1））＝f（－1）＋f（－1）知f（－1）＝0
∴f（－x）＝f（－1•x）＝f（－1）＋f（x）＝f（x）
故函数f（x）是R上偶函数
类型（三）：联想具体函数加以猜想
例6 已知定义R上f（x），对任意x，y均有f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）f（y）且f（0）≠0，求f（x）奇偶性．
解：(1) 通过题意的条件和其特征，加以联想，如f（x）＝cosx就满足条件
即：cos（x＋y）＋cos（x－y）＝2cosxcosy
∴可猜出f（x）是偶函数
(2) 令x＝y＝0，知f（0＋0）＋f（0－0）＝2f（0）f（0）又f（0）≠0
∴f（0）＝1
∴由题意知f（0＋x）＋f（0－x）＝2f（0）f（x）
∴f（x）＋f（－x）＝2f（x）
∴得f（－x）＝f（x）
∴函数为R上偶函数
类型（四）：通过代换或换元来证明函数单调性
例7 已知定义为R的函数f（x）满足：f（x）对任意x1，x2∈R均有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2）＋1，问f（x）＋1的奇偶性．
解：令F（x）＝f（x）＋1，下面只要判断F（－x）与F（x）的关系，由题意知，f（x＋（－x））＝f（x）＋f（－x）＋1
∴F（－x）＋F（x）＝［f（－x）＋1］＋［f（x）＋1］
＝f（－x）＋f（x）＋2
＝［f（－x）＋f（x）］＋2
＝［f（－x＋x）－1］＋2
＝f（0）＋1
又令x1＝x2＝0，得f（0＋0）＝f（0）＋f（0）＋1
知f（0）＋1＝0
∴F（－x）＋F（x）＝0
∴得F（－x）＝－F（x）
∴F（－x）是奇函数，则f（x）＋1是奇函数
五、 利用函数奇偶性求解析式
例8 已知定义R上的奇函数f（x），当x＞0时f（x）＝x3－x2＋1，求f（x）解析式．
解：设x＜0
∵函数f（x）为奇函数，则f（x）＝－f（－x）又－x＞0
∴f（x）＝－f（－x）＝－［（－x）3－（－x）2＋1］＝x3－x2－1
∴f（x）解析式为f(x)=x3-x2+1,x＞00,x=0x3-x2-1,x＜0
不要忘记f（0）＝0
六、 函数奇偶性综合运用
类型（一）：与函数的单调性联系
例9 已知f（x）是R上奇函数，且函数是（－∞，0）上减函数，求f（x）在（0，＋∞）上单调性.
证明：设x1＞x2＞0 ∴－x1＜－x2＜0 由题意知f（－x1）＞f（－x2）
∴f（x1）－f（x2）＝［－f（－x1）］－［－f（－x2）］
＝f（－x2）－f（－x1）＜0
∴f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）是（0，＋∞）上减函数
类型（二）：与函数周期联系
例10 f（x）是定义R上的偶函数，且其图象关于直线x＝1对称，求函数f（x）的最小正周期．
解：由题意知，f（x）满足f（－x）＝f（2＋x）
又f（x）是偶函数
∴f（－x）＝f（x）得f（2＋x）＝f（x）
∴函数f（x）的最小正周期为2
类型（三）：与函数的图象联系
例11 已知函数y＝f（x＋1）是偶函数，且f（x）是（1，＋∞）上增函数，比较f（0）与f（3）大小．
解：∵函数y＝f（x＋1）是偶函数，y＝f（x＋1）图象关于直线x＝0对称
∴函数y＝f（x）图象关于直线x＝1对称
∴f（0）＝f（2），又f（x）是（1，＋∞）上是增函数
∴f（2）＜f（3）
即f（0）＜f（3）
类型（四）：与函数的数值有联系
一、 必须在定义域中来研究函数的奇偶性
例1 判别下列函数的奇偶性
(1) f(x)=(1+x)1-x1+x；(2) g(x)=lg(1-x2)｜x+2｜-2．
解：(1) ∵函数定义域为｛x｜－1＜x≤1}
∴它不关于数轴上原点对称，故f（x）是非奇非偶函数
(2) ∵函数定义域为1-x2＞0｜x+2｜-2≠0
∴其定义域为｛x｜－1＜x＜1且x≠0}
此时g(x)=lg(1-x2)(x+2)-2=lg(1-x2)x
可验证g（x）是奇函数
二、 证明函数的奇偶性时，要对函数（或证明函数奇偶性过程中）加以化简或转化
例2 判断下列函数奇偶性
(1) f(x)=lg(x2+1-x)；(2) g(x)=axax+1-12（a＞0且a≠0）．
解：(1) f(x)=lg(x2+1-x)可知定义域为R
∴f(-x)=lg(x2+1-(-x)=lg(x2+1+x)=lg(x2+1-x)-1
=-lg(x2+1-x)=-f(x)
∴函数f（x）R上为奇函数
(2) g(x)=axax+1-12
∴g(x)=ax-12(ax+1)，定义域为R
又g(-x)=a-x-12(a-x+1)=1ax-121+1ax+1=1-ax2(1+ax)=-g(x)
∴函数g（x）为R上奇函数
三、 会利用图象来形象地判断函数的奇偶性
例3 判断下列函数奇偶性：f(x)=-x2+2x+1,x＞0x2+2x-1,x＜0．
解：y＝f（x）的图象为右图，
可知它关于原点对称
∴该函数是奇函数
四、 会证明抽象函数的奇偶性
类型（一）：用赋值法产生“f（0）”
例4 定义R上函数f（x），对任意x1，x2均有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2），求f（x）奇偶性．
解：令x1＝x2＝0，则f（0）＝f（0＋0）＝f（0）＋f（0）＝2f（0）
∴f（0）＝0
∴0＝f（0）＝f［x＋（－x）］＝f（x）＋f（－x）
∴得f（－x）＝－f（x）
∴f（x）为R上奇函数
类型（二）：用赋值法产生“f（－1）”
例5 已知定义域为D＝｛x｜x≠0｝上函数f（x），对x1，x2∈D均有f（x1•x2）＝f（x1）＋f（x2），求f（x）奇偶性．
解：令x1＝x2＝1，得f（1）＝f（1•1）＝f（1）＋f（1）f（1）＝0
∴f（1）＝f（－1×（－1））＝f（－1）＋f（－1）知f（－1）＝0
∴f（－x）＝f（－1•x）＝f（－1）＋f（x）＝f（x）
故函数f（x）是R上偶函数
类型（三）：联想具体函数加以猜想
例6 已知定义R上f（x），对任意x，y均有f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）f（y）且f（0）≠0，求f（x）奇偶性．
解：(1) 通过题意的条件和其特征，加以联想，如f（x）＝cosx就满足条件
即：cos（x＋y）＋cos（x－y）＝2cosxcosy
∴可猜出f（x）是偶函数
(2) 令x＝y＝0，知f（0＋0）＋f（0－0）＝2f（0）f（0）又f（0）≠0
∴f（0）＝1
∴由题意知f（0＋x）＋f（0－x）＝2f（0）f（x）
∴f（x）＋f（－x）＝2f（x）
∴得f（－x）＝f（x）
∴函数为R上偶函数
类型（四）：通过代换或换元来证明函数单调性
例7 已知定义为R的函数f（x）满足：f（x）对任意x1，x2∈R均有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2）＋1，问f（x）＋1的奇偶性．
解：令F（x）＝f（x）＋1，下面只要判断F（－x）与F（x）的关系，由题意知，f（x＋（－x））＝f（x）＋f（－x）＋1
∴F（－x）＋F（x）＝［f（－x）＋1］＋［f（x）＋1］
＝f（－x）＋f（x）＋2
＝［f（－x）＋f（x）］＋2
＝［f（－x＋x）－1］＋2
＝f（0）＋1
又令x1＝x2＝0，得f（0＋0）＝f（0）＋f（0）＋1
知f（0）＋1＝0
∴F（－x）＋F（x）＝0
∴得F（－x）＝－F（x）
∴F（－x）是奇函数，则f（x）＋1是奇函数
五、 利用函数奇偶性求解析式
例8 已知定义R上的奇函数f（x），当x＞0时f（x）＝x3－x2＋1，求f（x）解析式．
解：设x＜0
∵函数f（x）为奇函数，则f（x）＝－f（－x）又－x＞0
∴f（x）＝－f（－x）＝－［（－x）3－（－x）2＋1］＝x3－x2－1
∴f（x）解析式为f(x)=x3-x2+1,x＞00,x=0x3-x2-1,x＜0
不要忘记f（0）＝0
六、 函数奇偶性综合运用
类型（一）：与函数的单调性联系
例9 已知f（x）是R上奇函数，且函数是（－∞，0）上减函数，求f（x）在（0，＋∞）上单调性.
证明：设x1＞x2＞0 ∴－x1＜－x2＜0 由题意知f（－x1）＞f（－x2）
∴f（x1）－f（x2）＝［－f（－x1）］－［－f（－x2）］
＝f（－x2）－f（－x1）＜0
∴f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）是（0，＋∞）上减函数
类型（二）：与函数周期联系
例10 f（x）是定义R上的偶函数，且其图象关于直线x＝1对称，求函数f（x）的最小正周期．
解：由题意知，f（x）满足f（－x）＝f（2＋x）
又f（x）是偶函数
∴f（－x）＝f（x）得f（2＋x）＝f（x）
∴函数f（x）的最小正周期为2
类型（三）：与函数的图象联系
例11 已知函数y＝f（x＋1）是偶函数，且f（x）是（1，＋∞）上增函数，比较f（0）与f（3）大小．
解：∵函数y＝f（x＋1）是偶函数，y＝f（x＋1）图象关于直线x＝0对称
∴函数y＝f（x）图象关于直线x＝1对称
∴f（0）＝f（2），又f（x）是（1，＋∞）上是增函数
∴f（2）＜f（3）
即f（0）＜f（3）
类型（四）：与函数的数值有联系