论文部分内容阅读
一、引言
徜徉在数学的海洋探索数学的奥秘,自古以来人们都是把数学与生活实际乃至尖端科技紧密相连. 全美数学教师理事会(NCTM)发布的《学校数学课程和评价标准》在2000年正式定稿,虽然犹如我国课改一样在社会上引起轰动,但最后数学家和数学教育家达成的十点共识之一,强调数学教学中的“现实”背景,通过应用问题进行数学教学可能有助于激发动机和导入数学观点,这充分显示了数学应用在教育中的地位. 美国教材繁多,下面我们以较具影响力的出版社PRENTICE HALL出版的数学Course1-3为蓝本对数学应用性问题来作一些探讨.
二、美国PRENTICE HALL数学教材的应用性问题呈现方式
美国教材正如美国的课堂教学一样没有新课导入,编排上也没有引言之类的表述,直接进入数学知识学习. 以PRENTICE HALL出版的数学教材为例,其主线条是What you’ll learn(将要学什么)→Why learn this(为什么要学这些内容) →EXAMPLE(示例) →Check Your Understanding(检测)→Home work(家庭作业,实际上是在课堂完成)→GPS(Guided Problem Solving指导问题解决) →Test Prep and Mixted Review(综合训练和测试). 由此可见,PRENTICE HALL出版数学的教材主要分三个层次体现数学的应用. 首先,在Why learn this栏目从数学知识的科学价值、社会价值等应用性方面讲述为什么要学本部分内容,实际上是通过与实际接轨初步地渗透数学应用. 同样在示例、检测和家庭作业中也有应用性问题的呈现,这些是浅层次的直接应用. 其二,通过问题解决、活动和网络联系学习(Connect your learning through problem solving,activities and the webs). 这是较深层次的应用.呈现方式主要以现实世界的数学应用(Applications: Real-World Applications)为主,在教材的编排中通过指导问题解决GPS来显示应用题目.第三,深层次的数学应用表现在每个单元或章节结束都有相应的内容极其丰富的Active Lab(活动实验). 该课本在目录一栏把整册书中的内容收集在一起,这样有助于学习者系统地、有目标地研究数学的应用性.
三、具体的数学应用展示
1. 浅层次的数学应用
美国教材中的相关应用题的呈现是比较自然朴素的,没有经过数学化处理. 所涉及的知识点也比较单一.相比之下我国大部分教材比如人教版的应用题都是适当进行了一定程度的数学加工或者经过了初步的数学建模的半成品,需要交叉使用数学知识点,加深了数学难度、提高了数学化进程. 选择Mathematics Course 1-3册的几个例子来看看.
不妨来举例看看.
第二册第六章百分数的应用小结中涉及的财务实例如下:
例1 小费是按照账单的百分比付给为你服务人员的佣金.
(1)你和几个人到餐馆用餐.食物总价是43.85美元,你应该交税5%,并付15%的小费,如果一次性付账,估计一下你应该付多少钱?
(2)钻石的售价是6700美元,佣金是4%,算算应该付多少钱的佣金?
(3)一个保险公司的人寿保险单规定第一年按照保险费的40%付给代理商佣金,第二年按照保险费的5%付给佣金,如果保险费是每年交500美元,那么两年中的保单佣金是多少?
第三册第八章第9节探究相似几何体中涉及了陶艺,先用套筒娃娃引入相似几何体的概念,然后举例中在旁边插图显示制陶工序.
例2 圆柱形大水罐的表面积大约是90 in2,体积大约是157 in3.大水罐和奶壶是相似几何体.大水罐和奶壶的直径分别为6 in和3 in,请算出奶壶的表面积和体积.
这种较深层次的实例展示最为丰富的是家庭作业中的GPS,其特点是这类应用题可能与多种现实实例结合,或者要用多步骤运算多层次的数学知识才能解决问题.
3. 深层次应用举例
Activity Lab分为动手活动实验、科学实验、数据分析、收集数据、数学思考共五项,在其后又总结罗列了每个章节的活动项目、问题解决的方案和指导性的问题解决的特征.我们首先来看现实世界的应用,可谓是林林总总,非常全面. 我国人教版高中教材2003版的每一章后有个研究性学习板块,其编排模式倒是与此有些相似. 但是在高考模式下,该部分的利用远不及美国教材在初中阶段利用率高.
例(PRENTICE HALL Mathematics 3 11-7b)第550页:象限和其他非线性函数一节的Active Lab(实验活动). 该部分首先由导语引入:“你可以利用词汇、图片、表格或方程来表达代数关系,通过解释、转化这些表征来学习解决问题.”接下来是举例:Food Drive(筹募食物并捐赠的行动),一个班级为一个地区避难所的食品收集募集了罐头,老师买了15个罐头开始该项活动,从第二天开始该班每天买进6个罐头,下表显示了第一周收集的罐头数量.用这个表制一张图并写出方程表达收集的罐头数量c与收集的天数d之间的关系:
接着绘图得到线性关系,求出斜率,得出函数关系:c=6d 15.
第三步练习.练习1-3中一个表达式已经给出,通过表格、图象和表达式来转换表示每个函数关系.
第四步解释. 用图象比函数表达式更有用,还是用函数表达式比图象表示更有用呢?
要在呈现作为知识与技能的数学结果的同时,重视学生已有的经验,使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程.
在该数学实验活动中,学生通过线性函数关系的认知过程总结方法,并通过类比来研究非线性函数,自行列表、作图和体会函数关系式,从而能研究函数的特征,认识其显示意义.
四、一点思考
通过中美中学数学教材中应用性问题的比较,我们可以看到两国对数学的实用性、应用性相当重视,但是操作方式和取得结果相差甚远.从2003年TIMSS测试及历年的IMO结果看,东方学生的学习成绩显然优于西方.但常有教育批评家表示中国的高中毕业生考了高分不知道该填报什么专业,甚至有人望文生义来填报专业设置和研究方向.也曾经有人形象地比喻说中国的大学毕业生犹如羸弱的豆芽菜,架着一副深度近视眼镜,不敢主动发表见解.而西方的大学毕业生犹如猛虎下山般斗志昂扬地扑向社会.我个人认为这跟美国教材广泛重视应用是分不开的,他的学生在中小学时就经常进行职业设计、社区活动. 就其数学教材来说应用涉及面之广之深已是我们所不能想象的.而我国教材中那些经过数学化加工了的应用范例仍然过少过窄,数学实验几乎没有. 当然美国教材的应用数学含金量偏低,如果能将两者结合起来岂不更好!
参考文献:
[1] 高文君,鲍建生. 中美教材习题的数学认知水平比较[J]. 数学教育学报,2009(8).
[2] 蔡金法. 基于中美学生数学学习的系列实证性研究(上)[J]. 小学青年教师(数学版),2006(10).
[3] 邢红军,等. 中美两国国内数学教育的论争及其启示[J]. 中国教育学刊,2007(2).
徜徉在数学的海洋探索数学的奥秘,自古以来人们都是把数学与生活实际乃至尖端科技紧密相连. 全美数学教师理事会(NCTM)发布的《学校数学课程和评价标准》在2000年正式定稿,虽然犹如我国课改一样在社会上引起轰动,但最后数学家和数学教育家达成的十点共识之一,强调数学教学中的“现实”背景,通过应用问题进行数学教学可能有助于激发动机和导入数学观点,这充分显示了数学应用在教育中的地位. 美国教材繁多,下面我们以较具影响力的出版社PRENTICE HALL出版的数学Course1-3为蓝本对数学应用性问题来作一些探讨.
二、美国PRENTICE HALL数学教材的应用性问题呈现方式
美国教材正如美国的课堂教学一样没有新课导入,编排上也没有引言之类的表述,直接进入数学知识学习. 以PRENTICE HALL出版的数学教材为例,其主线条是What you’ll learn(将要学什么)→Why learn this(为什么要学这些内容) →EXAMPLE(示例) →Check Your Understanding(检测)→Home work(家庭作业,实际上是在课堂完成)→GPS(Guided Problem Solving指导问题解决) →Test Prep and Mixted Review(综合训练和测试). 由此可见,PRENTICE HALL出版数学的教材主要分三个层次体现数学的应用. 首先,在Why learn this栏目从数学知识的科学价值、社会价值等应用性方面讲述为什么要学本部分内容,实际上是通过与实际接轨初步地渗透数学应用. 同样在示例、检测和家庭作业中也有应用性问题的呈现,这些是浅层次的直接应用. 其二,通过问题解决、活动和网络联系学习(Connect your learning through problem solving,activities and the webs). 这是较深层次的应用.呈现方式主要以现实世界的数学应用(Applications: Real-World Applications)为主,在教材的编排中通过指导问题解决GPS来显示应用题目.第三,深层次的数学应用表现在每个单元或章节结束都有相应的内容极其丰富的Active Lab(活动实验). 该课本在目录一栏把整册书中的内容收集在一起,这样有助于学习者系统地、有目标地研究数学的应用性.
三、具体的数学应用展示
1. 浅层次的数学应用
美国教材中的相关应用题的呈现是比较自然朴素的,没有经过数学化处理. 所涉及的知识点也比较单一.相比之下我国大部分教材比如人教版的应用题都是适当进行了一定程度的数学加工或者经过了初步的数学建模的半成品,需要交叉使用数学知识点,加深了数学难度、提高了数学化进程. 选择Mathematics Course 1-3册的几个例子来看看.
不妨来举例看看.
第二册第六章百分数的应用小结中涉及的财务实例如下:
例1 小费是按照账单的百分比付给为你服务人员的佣金.
(1)你和几个人到餐馆用餐.食物总价是43.85美元,你应该交税5%,并付15%的小费,如果一次性付账,估计一下你应该付多少钱?
(2)钻石的售价是6700美元,佣金是4%,算算应该付多少钱的佣金?
(3)一个保险公司的人寿保险单规定第一年按照保险费的40%付给代理商佣金,第二年按照保险费的5%付给佣金,如果保险费是每年交500美元,那么两年中的保单佣金是多少?
第三册第八章第9节探究相似几何体中涉及了陶艺,先用套筒娃娃引入相似几何体的概念,然后举例中在旁边插图显示制陶工序.
例2 圆柱形大水罐的表面积大约是90 in2,体积大约是157 in3.大水罐和奶壶是相似几何体.大水罐和奶壶的直径分别为6 in和3 in,请算出奶壶的表面积和体积.
这种较深层次的实例展示最为丰富的是家庭作业中的GPS,其特点是这类应用题可能与多种现实实例结合,或者要用多步骤运算多层次的数学知识才能解决问题.
3. 深层次应用举例
Activity Lab分为动手活动实验、科学实验、数据分析、收集数据、数学思考共五项,在其后又总结罗列了每个章节的活动项目、问题解决的方案和指导性的问题解决的特征.我们首先来看现实世界的应用,可谓是林林总总,非常全面. 我国人教版高中教材2003版的每一章后有个研究性学习板块,其编排模式倒是与此有些相似. 但是在高考模式下,该部分的利用远不及美国教材在初中阶段利用率高.
例(PRENTICE HALL Mathematics 3 11-7b)第550页:象限和其他非线性函数一节的Active Lab(实验活动). 该部分首先由导语引入:“你可以利用词汇、图片、表格或方程来表达代数关系,通过解释、转化这些表征来学习解决问题.”接下来是举例:Food Drive(筹募食物并捐赠的行动),一个班级为一个地区避难所的食品收集募集了罐头,老师买了15个罐头开始该项活动,从第二天开始该班每天买进6个罐头,下表显示了第一周收集的罐头数量.用这个表制一张图并写出方程表达收集的罐头数量c与收集的天数d之间的关系:
接着绘图得到线性关系,求出斜率,得出函数关系:c=6d 15.
第三步练习.练习1-3中一个表达式已经给出,通过表格、图象和表达式来转换表示每个函数关系.
第四步解释. 用图象比函数表达式更有用,还是用函数表达式比图象表示更有用呢?
要在呈现作为知识与技能的数学结果的同时,重视学生已有的经验,使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程.
在该数学实验活动中,学生通过线性函数关系的认知过程总结方法,并通过类比来研究非线性函数,自行列表、作图和体会函数关系式,从而能研究函数的特征,认识其显示意义.
四、一点思考
通过中美中学数学教材中应用性问题的比较,我们可以看到两国对数学的实用性、应用性相当重视,但是操作方式和取得结果相差甚远.从2003年TIMSS测试及历年的IMO结果看,东方学生的学习成绩显然优于西方.但常有教育批评家表示中国的高中毕业生考了高分不知道该填报什么专业,甚至有人望文生义来填报专业设置和研究方向.也曾经有人形象地比喻说中国的大学毕业生犹如羸弱的豆芽菜,架着一副深度近视眼镜,不敢主动发表见解.而西方的大学毕业生犹如猛虎下山般斗志昂扬地扑向社会.我个人认为这跟美国教材广泛重视应用是分不开的,他的学生在中小学时就经常进行职业设计、社区活动. 就其数学教材来说应用涉及面之广之深已是我们所不能想象的.而我国教材中那些经过数学化加工了的应用范例仍然过少过窄,数学实验几乎没有. 当然美国教材的应用数学含金量偏低,如果能将两者结合起来岂不更好!
参考文献:
[1] 高文君,鲍建生. 中美教材习题的数学认知水平比较[J]. 数学教育学报,2009(8).
[2] 蔡金法. 基于中美学生数学学习的系列实证性研究(上)[J]. 小学青年教师(数学版),2006(10).
[3] 邢红军,等. 中美两国国内数学教育的论争及其启示[J]. 中国教育学刊,2007(2).