本博士论文主要研究以下三个方面的问题。1)直线上两个单位区间的并Uλ是否是满足开集条件的自相似集?本文给出了Uλ是满足开集条件的自相似集的充要条件:λ∈Λ:=∪n≥1Λn,Λn的定义见第3章第1节。进一步,我们对Λ的结构有如下刻画,集合Λ∩[0,2]由下面这些元素组成,0,1,2,以及下列词的谱:123132,12313424,wn = w1w2n（n = 3,4,···）,其中,wn定义为w1 = w3 = 1,w2n-2 = w2n = n,w2j-2 = w2j+1 = j,2≤j≤n-1。词和谱的定义见第3章第1节。最后,我们通过例子引出两个非平凡的问题,并列举了一些未解决的问题。证明中除了用到分形几何,几何测度论和分析的技巧,还用到图论和非负矩阵的一些技巧。2)研究有效阻抗度量空间上的热核估计问题。我们用分析方法证明了热核的存在性,并给出热核的上下界估计,同时给出了在直线和p.c.f.自相似集上的应用。证明中需要假定不可约局部正则Dirichlet型的存在性,有效阻抗度量满足γ-链条件,以及测度关于有效阻抗的α-正则性。我们首先通过构造Green函数,得到局部热核的估计。然后证明热核的对角估计,并利用Dirichlet的局部性和局部热核的下界估计,得到热核的非对角上界估计。最后,通过证明热核的近对角下界估计,并利用γ-链条件证明了非对角下界估计。3)证明了在度量空间上,如果测度μ满足加倍条件,则关于拟度量的Hajlasz-Sobolev空间Mσp（μ）满足如下嵌入定理:Mσp（μ） （?） Lip（σ, p,∞）（μ）,而且,对任意0 <θ<σ,Lip（σ, p,∞）（μ） （?） Mσ-θp（μ）。在此基础上我们证明,在R2的Sierpinski垫片上,p-能量E（f）的定义域D（E）= Lip（βp/p, p,∞）（μ）。并进一步证明,如果1 <σ<βp/p,Hajlasz-Sobolev空间Mσp（μ）是非平凡的,这里βp反映了Sierpinski垫片的内蕴性质。