【摘 要】
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共轭是动力系统理论中的核心问题之一,在系统简化和分类中有重要的应用.对于双曲系统的局部简化,有著名的Hartman-Grobman线性化定理.而非双曲系统的情况更为复杂,没有通用的简化定理,因此,非双曲系统的简化甚至线性化很值得研究.而在全局情形下,简化不一定能实现,因而人们关注分类问题.通过共轭分类,能在一定程度上方便对系统做进一步研究.本文将分别对特殊一维非双曲映射和经典的Logistic映射
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共轭是动力系统理论中的核心问题之一,在系统简化和分类中有重要的应用.对于双曲系统的局部简化,有著名的Hartman-Grobman线性化定理.而非双曲系统的情况更为复杂,没有通用的简化定理,因此,非双曲系统的简化甚至线性化很值得研究.而在全局情形下,简化不一定能实现,因而人们关注分类问题.通过共轭分类,能在一定程度上方便对系统做进一步研究.本文将分别对特殊一维非双曲映射和经典的Logistic映射进行研究,前者研究简化,后者研究分类.其内容如下:第二章,考虑特殊一维非双曲映射的线性化问题.从Hartman-Grobman线性化定理可以知道,双曲非线性系统在局部可以被拓扑共轭到线性系统.然而在非双曲情形下,并没有这样的线性化结论.前人针对一维非双曲系统,在原点邻域内,研究了 C1正规形问题.证明了非双曲系统可以在C1的坐标变换下简化到其正规形.该正规形只含有非双曲系统泰勒展开式的最低阶项.那么,接下来的问题是:能否在降低坐标变换光滑度的情况下,去掉高阶项,使其线性化?因此,本章针对这一问题进行研究,发现一维非双曲在原点邻域可以被C0线性化但是不能被H?lder线性化.证明过程中,主要利用了逐段定义的方法求解共轭方程,并利用了泰勒展开式证明一维非双曲映射不能被H?lder线性化.第三章,研究经典Logistic映射的分类问题.Katok和Hasselblatt在他们的专著中提到过Logistic映射拓扑分类的部分结果,然而迄今为止,并没有文献系统而详细地给出过Logistic映射共轭分类的详细证明.因此,本章将系统地研究Logistic映射的拓扑共轭分类问题.通过在不同情形下讨论映射的不动点和周期点,并利用逐段定义的方法详细地证明一部分参数情形下Logistic映射的拓扑共轭或拓扑不共轭问题.
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