本篇论文主要研究用交替投影算法以及松弛交替投影算法的相关理论解决在不同约束条件下广义Sylvester矩阵方程最小二乘问题min1/2‖t∑i=1 AiXBi-C‖，所考虑的约束集合R包括(1)线性约束矩阵集合，(2)非负约束或边界约束矩阵集合，(3)半正定或ε正定约束矩阵集合，(4)矩阵半正定不等式约束集合，(5)范数约束矩阵集合等。同时考虑将上述模型在某些特殊情况下的矩阵方程，结合一个Tikhonov正则项，应用于图像恢复问题中。首先给出了在不同约束条件下投影矩阵的计算，从而提出交替投影算法、松弛交替投影算法等新型求解不同约束条件下矩阵方程最小二乘问题。结合算法性质证明了算法的收敛性，给出大量数值算例，包括随机生成数据试验、在图像恢复中一些经典图像恢复试验以及特殊对称型图像恢复试验，验证了算法的可行高效性。同时也给出了与传统矩阵形式的Krylov子空间方法相比较的数值实验。特别是文中阐述了一些对称型图像恢复问题，这些在其他文献中较少涉及，主要难点是由于特殊对称型图像恢复问题中恢复图像必须保持与原始图像具有相同的特殊对称型结构。最后本文研究了界约束下算子方程最小二乘问题，使用了一种新的算法，即条件梯度法求解此约束算子方程，同样在图像恢复的应用中验证了算法的优势。本文主要研究工作如下：　　第二章主要研究广义Sylvester矩阵方程最小二乘问题求解的交替投影算法及其松弛交替投影算法，给出了不同约束集合下的投影矩阵，验证了交替投影算法与松弛交替投影算法的收敛性，数值实验结果证明了算法的有效性。同时与传统Krylov子空间方法比较，验证了算法的线性收敛速度与高效性。　　第三章主要介绍了图像恢复问题的一些理论知识，将图像恢复的来源问题转化为矩阵方程的求解问题，从而采用交替投影算法解决图像恢复问题。结合数值算例，实验结果证明了交替投影算法在一些经典图像恢复中的可行性与有效性，特别是在特殊对称型图像恢复中，具有创新性。　　第四章主要研究了界约束下算子方程最小二乘问题，结合算子方程的性质提出了条件梯度算法，同时给出了算法的收敛性证明。最后将算法应用于图像恢复中，通过具体的数值实验证明算法的有效性。