本文的研究主要隶属于经典的 Brunn-Minkowski理论和 Lp-Brunn-Minkowski理论范畴.主要利用Lp-Brunn-Minkowski理论和泛函分析、实分析、积分变换等中的相关知识,对 Lp-空间中的 Lp-截面体和 Lp-径向平均体的一些体积不等式和Shephard问题、凸体的 Blaschke-Santal o不等式的逆形式和混合亮度积分的Brunn-Minkowski型不等式等进行研究.本课题的研究内容属于目前国际上发展十分迅速的热点领域.　　本文第一章对 Lp-Brunn-Minkowski理论的研究成果进行了综述,并介绍我们的主要成果.在第二章中主要介绍支撑函数,径向函数,径向线性组合,Lp-对偶混合体积等的概念和相关性质.在第三章中,通过对Lp-截面体的的研究,结合经典的截面体和Lp-对偶混合体积理论,我们建立了Lp-截面体C p K的一些体积不等式.在第四章中,研究了Gardner和Zhang所提出的Lp-径向平均体Rp K.我们得到几何体K和 Lp-径向平均体Rp K的体积不等式.并且,我们讨论了 Lp-径向平均体Rp K的Shephard型问题和单调性.在第五章中,我们首先通过Reisner不等式给出了关于凸体的Blaschke-Santal o不等式的逆形式,又通过Petty投影不等式、Reisner不等式和Bourgain-Milman不等式,建立了Petty猜想的两个类似不等式.在第六章中,建立了混合亮度积分关于 Minkowski线性组合、调和径向组合、Blaschk线性组合以及调和Blaschke线性组合的Brunn-Minkowski型不等式.