【摘 要】
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近年来,来自于微分几何、数学物理等领域中的指数非线性问题越来越受到关注,本文主要考虑指数非线性问题的爆破分析与紧性分析,结合最佳几何不等式,对相关问题进行深入研究.首先,我们利用凸重排技巧以及水平集估计,建立涉及N-Finsler-Laplacian算子和Lp范数扰动的最佳Trudinger–Moser不等式.此外,我们还通过爆破分析和容度技巧得到极值函数的存在性.其次,我们考虑带边黎曼面上的预定
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近年来,来自于微分几何、数学物理等领域中的指数非线性问题越来越受到关注,本文主要考虑指数非线性问题的爆破分析与紧性分析,结合最佳几何不等式,对相关问题进行深入研究.首先,我们利用凸重排技巧以及水平集估计,建立涉及N-Finsler-Laplacian算子和Lp范数扰动的最佳Trudinger–Moser不等式.此外,我们还通过爆破分析和容度技巧得到极值函数的存在性.其次,我们考虑带边黎曼面上的预定曲率方程.利用刘维尔方程的爆破分析方法,结合Trudinger–Moser不等式,证明对应平均场方程的能量泛函有明确的下界,在此基础上,我们给出预定曲率方程解存在的一个充分条件.然后,我们建立有界区域中涉及N-Finsler-Laplacian算子的奇异Trudinger–Moser不等式的Lions型集中紧性原理.此外,我们还得到整个欧氏空间RN上相应的集中紧性原理.接着,我们考虑带有临界指数增长和奇异项的非线性薛定谔方程.利用极大极小方法和集中分析,结合一些精细的估计,证明基态解的存在性.对于扰动问题,得到了两个不同的非平凡弱解.最后,假设（M,g）是一个完备的非紧N维负曲率黎曼流形,N≥2,我们得到奇异Trudinger–Moser不等式的集中紧性原理.作为一个重要的应用,我们证明一类椭圆问题在完备非紧黎曼流形上的基态解的存在性,我们还得到扰动问题的非平凡弱解.
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