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本文对以Borel测度为初值的一阶拟线性方程的BV解进行了研究。我们考虑形如下式的Cauchy问题，(б)u/(б)t+(б)um/(б)x=up，(x,t)∈QT=R×(0，T)(1)u(x，0)=μ(x)，x∈R，(2)其中m＞1，0＜p≤1，μ是一个R≡(-∞，+∞)空间上的非负局部有限Borel测度.
然而，对于拟线性双曲型方程的理论研究成果并不象椭圆型方程和抛物型方程的理论研究成果那么丰富，这是由于在偏微分方程研究中，拟线性双曲型方程的解可能会出现间断，研究方法受到局限，很多处理椭圆型方程与抛物型方程的强有力工具都不能用于拟线性双曲型方程.正如本文在研究过程中遇到的困难一样.
显然问题(1)-(2)没有古典解，因此我们考虑它的局部BV解.我们定义BV(QT)为在QT的所有的局部有界变差函数的集合.换句话说，u∈BV(QT)当且仅当u∈L1loc(QT)，且ut和ux是在QT上是局部有界变差的正则测度.则BV(R)是定义在R上局部有界变差所有函数的集合.我们将考虑下面定义下的解.
定义1.非负可测函数u:Qt(→)(0，+∞)称为问题(1)的解.如果u满足下面的条件[H1]和[H2]:
[H1]对任意的R∈(0，+∞)，s∈(0，T)，有u∈1.00(0，T；L1(-R，R))∩1.00((-R，R)×(s，T))∩BV((-R，R)×(s，T)),[H2]对(A)φ∈C∞0(QT)且φ≥0，有∫∫QTsign(u-k)[(u-k)(б)φ/(б)t+(um-km)(б)φ/(б)x+upφ]dx≥0,(A)k∈R.其中，sign(u-k)={1，如果u＞k,0,如果u=k,-1,如果u＜k.
定义2.非负函数u:QT(→)(0，+∞)称为方程(1)-(2)的解.如果u是方程(1)的解，且以下面形式满足初值条件(2)，esslimt→0+∫Rψ(x)u(x,t)dx=∫Fψ(x)dμ，ψ∈C∞0(R).
本文的主要内容是定理1.令μ为非负局部有界的Borel测度，且满足下面的条件Mr≡supR＞r(R-m/(m-1)∫0-Rdμ)＜∞.r∈(0,+∞)(3)则Cauchy问题(1)至少有一个解u∈QT(μ)使得‖u((.，t)‖L1(-R，0)≤γ1Rm/(m-1)Mr(A)R＞r.(4)‖u(.，t)‖1.00(-R，0)≤γ2R1/(m-1)[Mr+(t-1/m+F-1/m)M1/mr](A)R＞r.(5)对a.e.t∈(0，Tr(μ))，其中Tr(μ)=γ3M*r，M*r=min{Mr-(m-1)，Mr1-p，Mr1-1/m}，T(μ)=limr→+∞Tr(μ.)γ1，γ2，γ3是依赖m，p的常数，且，m＞1，0＜p≤1，F=r(1-p)/(m-1).注：我们知道常微分方程初值问题
{ut=up,u(x,0)=0有两个解，u1=0，u2=[(1-p)t]1/1-p，由此我们可以猜想问题(1.1)-(1.2)很难得到或者得不到唯一性结论.
为了得到结论，我们先考虑了正则化问题{(б)u/(б)t+(б)um/(б)x=fx(u),(x,t)∈QT.u(x,0)=u0(x),x∈R(6).其中u0(x)∈1.00(R)∩BV(R)是一个非负可测函数，fk(s)=min{sp，k}，k∈R，m＞1，0＜p≤1.又通过如下方程解的存在性得到了该正则化问题解的存在性，{ut+φ(u)x-εuxx=ψ(u),(x,t)∈QT,u(x,0)=u0ε(x),x∈R,(7)其中φ(u)=(u2+ε/εu2+1)m/2,ψ(u)=((fk(u))2/p+ε/ε(fk(u))2/p+1)p/2,u0ε(x)=Jε*u0(x)，Jε满足suppJε(∩)(-ε，+ε)，∫RJε(x)dx=1，Jε(x)(∩)C∞0(R)最后为了证明问题(1)-(2)解的存在性，我们又证明了如下命题.
命题1.假设m＞1，0＜p≤1,r∈(0，+∞)，u是Cauchy问题(6)的解，则存在依赖m，p的常数γ1，γ2，γ3，使得对a.e.t∈(0，Tr(u0))，有{supR＞r[R-m/(m-1)∫0-Ru(x,t)dx]≤γ1Nr,supR＞r[R-1/(m-1)esssup-R＜x＜0u(x,t)]≤γ2[Nr+t-1/m+F-1/m)N1r/m],其中Tr(u0)=γ3N*r，N*r=min{Nr-(m-1)，Nr1-p，Nr1-1/m}.
命题2.假设r∈(0，+∞)，l∈(0，+∞)且u是Cauchy问题(6)的解，则存在-个仅依赖m，p的常数γ4，使得esssup0＜x＜lu(x,t)≤γ4(r1/m-1)Nr+(l+r/t)1/(m-1)+l1/(m-1)+(r/F)1/(m-1))，a.e.t∈(0，+∞)，其中m＞1，0＜p≤1.
命题3.假设γ∈(0，+∞)，u是Cauchy问题(6)的解，则有，(A)R∈(r,+∞)，且T∈(0，Tr(u0))，|u|BVt(QT(R))+|um|BVx(QT(R))≤γ5Rm/m-1[Nmr+(1/T)m/m-1+(1/F)m/m-1+2]，其中QT(R)=(-R，+R)×(T/2，T)，且γ5为依赖m，p的常数.