【摘 要】
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本文的核心工作是黎曼流形上板系统的渐近稳定性.结合板的实际背景及其振动特点,运用黎曼几何方法和（分段）乘子方法,分析了粘弹性阻尼、摩擦阻尼以及时滞在板系统中对稳定性的影响,粘弹性阻尼和摩擦阻尼对系统衰减速率影响的强弱对比,以及波（热）与板之间的信息传输机理.本文的研究结果可以丰富板系统的稳定性问题的相关理论,也可以为实际提供有价值的理论信息.研究内容主要分七部分介绍.第一章是绪论,主要介绍了与本文
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本文的核心工作是黎曼流形上板系统的渐近稳定性.结合板的实际背景及其振动特点,运用黎曼几何方法和（分段）乘子方法,分析了粘弹性阻尼、摩擦阻尼以及时滞在板系统中对稳定性的影响,粘弹性阻尼和摩擦阻尼对系统衰减速率影响的强弱对比,以及波（热）与板之间的信息传输机理.本文的研究结果可以丰富板系统的稳定性问题的相关理论,也可以为实际提供有价值的理论信息.研究内容主要分七部分介绍.第一章是绪论,主要介绍了与本文所研究系统相关的研究背景、国内外研究现状并介绍了本文的主要内容.第二章介绍了一些基本的黎曼流形知识并引入了一些本文用到的数学符号.第三章主要研究具有非线性局部反馈和变时滞的变系数粘弹性板系统的解的渐近稳定性问题.本章的侧重点是板系统中摩擦阻尼作用区域对系统稳定性的影响.运用黎曼几何方法以及构造特殊的分段乘子,获得系统的渐近稳定的条件.在这一章中考虑了更加一般的摩擦阻尼作用区域,满足几何条件的边界邻域是其特殊情形.第四章主要研究粘弹性阻尼和摩擦阻尼在变系数板系统中的对比以及对系统解的影响,即研究粘弹性项和摩擦阻尼哪个阻尼对系统衰减率的影响占优.同时在系统中也考虑了变时滞反馈的影响.通过乘子方法和Jensen不等式的巧妙结合,获得系统的渐近稳定性,并通过一个稳定的ODE系统刻画能量的衰减速率.该ODE的稳定性受粘弹性阻尼核函数、摩擦阻尼函数的影响.通过ODE系统与核函数和摩擦阻尼函数之间的关系,我们提供了系统的能量衰减速率和核函数以及摩擦阻尼函数之间的关系.同时获得摩擦阻尼和粘弹性阻尼作用区域互不相交时,系统的衰减率主要受较弱的阻尼的影响;摩擦阻尼和粘弹性阻尼作用区域完全重合且摩擦阻尼函数在原点附近可微时,系统的衰减速率主要受粘弹性阻尼的影响,甚至摩擦阻尼函数为线性函数时,此结论仍旧成立.第五章主要研究具有变时滞的变系数热弹性板系统的稳定性问题.利用Lya-punov方法获得系统的渐近稳定性,并证明了系统的衰减率与粘弹性核函数相关.特别的,当粘弹性核函数呈指数衰减时,系统也呈指数衰减.利用磨光子,拓宽了松弛函数的选取范围.第六章主要研究黎曼流形中具有非线性源项的波板传输系统的渐近稳定性问题.在板边界上施加阻尼反馈,通过板和波的耦合面传输到波系统上,抑制住源项对系统的影响作用,进而使整个波板系统达到渐近稳定.在本章中运用Galerkin方法证明解的存在性,运用乘子法证明系统解的渐近稳定性,并通过数学表达式显式地估计出系统衰减速率和阻尼函数之间的关系.第七章主要对本文的成果以及创新之处做出总结,并对与本文相关的进一步工作作出展望.
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