本文我们将研究如下椭圆边值问题其中Ω是RN中的有界光滑区域,N≤3,p∈[2,2*),u+=max{u,0},u-=min{u,0}以及u=u++u-.当N=1，2时,2*=∞;当N=3时,2*=6.如果此问题存在非平凡解,那么对应的（α,β）构成的集合称为相应于上述问题的Fu（?）ik谱.当p=2时,上述问题考虑的是经典的Laplace问题的Fu（?）ik谱,它有广泛的应用,如非线性梁振动,悬索桥的振动以及竞争种群演化等.当p=4时,上述问题为基尔霍夫型问题的Fu（?）ik谱.本文主要的研究方法是非线性泛函分析中的临界点理论和变分法.本文共五章.第一章,首先介绍本文研究课题的来源,然后概述Laplace问题和p-Laplace问题的Fu（?）ik谱的一些研究背景,国内外的研究现状,最后陈述本文的主要结果.第二章,我们将应用minimax方法研究如下基尔霍夫型Fu（?）ik谱问题其中Ω是RN中的有界光滑区域,N≤3.如果此问题有非平凡解,那么对应的（α，β）构成的集合称为基尔霍夫型问题的Fu（?）ik谱,记为Σ.进一步,若解是定号的,则（α,β）构成的集合称为基尔霍夫型问题的平凡Fu（?）ik谱;若解是变号的,则（α,β）构成的集合称为基尔霍夫型问题的非平凡Fu（?）ik谱,记为Σo.在这一章中,主要研究Σ的构成及性质.特别地,区域Ω满足条件（D）,即Ω是RN中的开球，N≤3;或者Ω是R2中关于x方向和y方向对称,并且关于x方向和y方向是凸的开集.0.1基尔霍夫型问题的Fu（?）ik谱曲线首先,我们应用Lagrange乘子法把研究基尔霍夫型问题的Fu（?）ik谱转化为研究泛函Is限制在S上的临界点.如图0.1所示,我们获得了三条基尔霍夫型问题的Fu（?）ik谱曲线L1=（{μ1} ×（-∞,μ1]）U（（-∞,μ1]× {μ1}）,L2=（μ1} ×[μ,∞））U（[μ1，∞）× {μ1}）以及C={（s+c（s）,c（s））:s ∈ R}.进一步,我们研究了三条曲线的性质.关于折线L1和L2,我们证明了如下结果.i)基尔霍夫型Fu（?）ik谱问题的定号非平凡解对应的点（α，β）在十字线L:=L1U L2上;（ii）如果（α，β∈ L,那么基尔霍夫型Fu（?）ik谱问题的解一定是定号的;（iii）基尔霍夫型Fu（?）ik谱问题的变号解对应的点（α,β）在折线L2的右上方,即如果（α，β）∈Σ0,那么α>μ1，β>μ1.基于Σ0的性质,可以证明曲线C在下述定理的意义下是Σ中的第一非平凡曲线.定理2.1.6 c（s）=min{β:（s+β,β）∈ Σ0}.最后,我们还研究了函数c和曲线C的性质.如图0.1所示,曲线C还可以表示为C={（α,β）∈（0,∞）2:α=β+c-1（β）}.它在αOβ平面上关于对角线对称,并且渐近于折线L2.第二章的内容已经发表在《Nonlinear Analysis》,见[55].在第三章中,我们将考虑Σ的几个应用.Fu（?）ik和Dancer在引入Fu（?）ik谱时提到，Fu（?）ik谱对于带有跳跃非线性项的半线性椭圆边值问题是非常关键的.因此,很自然的一个想法就是Σ对于带有跳跃非线性项的基尔霍夫型问题也是非常关键的.于是,我们考虑了如下边值问题其中Ω满足条件（D）,非线性项f∈C（Ω×R,R）且存在某个点x0 ∈Ω,使得f（x0,0）≠0.进一步,假设f满足（f）存在f±∞ ∈R,使得limt→∞f（x,t）/t3=f±∞关于x ∈Ω一致成立.通过Σ获得上述问题对应泛函的紧性结果.再结合山路定理,证明了非平凡解的存在性.这部分结果已经发表在《Applied Mathematics Letters》,见[84].关于Σ的第二个应用,我们研究了方程∫解的存在性.这里Ω是RN中的有界光滑区域,N≤3,f由两个相关算子的第一特征值刻画.在文献[60]中,Liang,Li和Shi考虑了上述方程,其中非线性项/满足（f1）f∈C（Ω×R,R）且f（x,t）≥0,（x,t）≥0,（x,t）∈Ω×（0,∞,0）];（f3）存在f0,f∞∈R+:=[0,∞）,使得关于x ∈Ω一致成立.他们讨论了两种情形,一种是f0>λ1,f∞<μ1,另一种是f0<λ1,f∞>μ1.第一种情形,他们获得了一个正解的存在性.第二种情形,他们获得了分歧结果.§3.2节考虑了f0>λ1，f∞>μ1的情形.值得注意的是,我们考虑的非线性项在零点和无穷远点都具有拉伸性质.从拓扑度的角度看,必须添加适当的压缩性条件才能使得问题有解.为了解决这个问题,我们借助于处理如下一类（2,p）-Laplace方程的思想,其中Δpu=div（|u|p-2Vu）,p>2,Ω是RN中的有界光滑区域.假设非线性项g满足（g1）g∈C（Ω×R,R）且g（x,t）≥0,（x,t）∈Ω × R+;g（x,t）=0,（x,t）∈Ω×（-∞,0）；（g2）存在q∈（p,p*）和C0（0,Cq）,使得|g（x,t）|≤C0（1+|t|q-1）,（x,t）∈Ω×R,其中（g3）存在g0>λ1,g∞>v1,使得limt→0+g（x,t）/t=g0和limt→∞g（x,t）/tp-1=g∞关于x∈Ω—致成立.那么,可以获得下面解的存在性结果.定理3.2.1设g满足（g1）-（g3）.上述（2,p）-Lapce方程至少存在两个非负非平凡解.这部分结果已经发表在《Journal of Mathematical Physics》,见[54].注意到上述增长性条件（g2）对于解的存在性起着重要的作用.特别地,这个条件保证了对应的泛函满足山路几何结构.另外,我们通过pLaplace问题的Fu（?）ik谱获得了上述问题的紧性结果,进而证明了解的存在性.受到上述思想的启发,对于非线性项具有拉伸性质时的基尔霍夫方程,我们猜想也要添加类似的增长性条件,同时也利用Σ处理所要研究的问题.于是，我们获得如下条件.（f2）存在p∈（4,2*）以及C0∈（0,Cp）),使得|f（x,t）|《Co（1+|t|p-1）,（x,t）∈Ω×R,其中我们证明了在Ω满足条件（D）时,上述基尔霍夫方程至少存在两个正解.这个结果在一定意义下补充了[60]的结果.最后,我们研究了如下一类Fu（?）ik型共振情形下的基尔霍夫型问题其中Ω满足条件（D）,（α,β）∈,非线性项/包含幂函数|μ|q-2u,q∈（1,4）的情形.如果（α,β）∈Σ，那么我们称上述问题在无穷远处是共振的;如果（α,β）（?）Σ，那么称上述问题在无穷远处是非共振的.在§3.3节中,通过Σ获得了上述问题在共振情形和非共振情形下的紧性结果,进而获得非平凡解的存在性.在第四章中,我们研究了如下p幂次基尔霍夫型Fu（?）ik谱问题其中Ω满足条件（D）,P∈（2，2*）.若此问题有非平凡解,则（α,/3）构成的集合称为p幂次基尔霍夫型问题的Fu（?）ik谱,记为∑.这一章主要研究Σ的构成及性质.当p=4时,Σ即为∑.因此,上述研究的Fu（?）ik谱问题可以看成是基尔霍夫型Fu（?）ik谱问题的推广.首先,为了研究Σ,需要考虑下面的特征值问题/其中Ω满足条件（D）.在§4.2节中,我们证明了是上述问题的第一特征值,并且存在相应的正的特征函数ψ1∈H10（Ω）满足|ψ1|p=1.进一步,证明了上述问题的对应于特征值应μ≠μ1的特征函数是变号的.从而μ1是单重的特征值.其次,类似于第二章的思想,通过寻找I2限制在S上的临界点研究∑.在§4.3节中,我们获得了十字线L=L1∪L2∩Σ，其中L1=（{μ1} ×（-∈，μ1]）∪（（-∞，μ1]× {μ1}）,l2=（{μ1} ×[μ1,∞））∪×{μ1}）.接着研究了L的性质.然后,利用流形上的山路定理构造了一条曲线C={（s+c（s）,c（s））:s∈R}∩Σ.同时,还研究了它的性质.值得注意的是,虽然我们将Σ推广到Σ,并且获得了三条曲线,但是在p幂次情形下并没能够证明曲线C是Σ中的第一非平凡曲线.主要原因是此时处理的非局部问题是p次的,在具体证明过程中构造理想的道路并对其能量做细致的估计比较困难.第一非平凡性是否只对特殊的p才成立,目前我们仍在考虑这个问题.在第五章中,应用Σ研究了一类一般的基尔霍夫方程其中Ω满足条件（D）,M ∈ C（R+，R+）,f在零点渐近线性,无穷远点渐近（p-1）-线性,p∈（2,2*）.为了获得上述方程的解,我们通过Σ的性质研究了上述问题对应泛函的紧性条件,得到了相应的紧性结果,即定理5.1.1.最后通过这个紧性结果,我们获得了正解的存在性.