设P为平面中的有限点集，如果P的任意k元子集（k≥3）中存在一个点到另外两个点的距离相等，则称P为k-等腰集.　　1998年，P.Fishburn对k=4的情形进行了研究，给出了4-等腰集的部分结果。　　本文对4-等腰集进行了进一步研究.由4-等腰集的定义可知，4-等腰n点集(n＞4)的任意n-1元子集一定是4-等腰的，所以研究4-等腰集的基础就是刻画全部的4-等腰4点集.本论文首先从4点集入手，得到以下结论:　　(1)按照4-等腰4点集所含等腰三角形的个数，对全部的4-等腰4点集进行了分类，并且基于这种分类方法给出了判定4-等腰4点集的充要条件。　　(2)在上述的4-等腰4点集的构型的基础上，找到了恰含9个或者8个等腰三角形的4-等腰5点集的同构类型。　　(3)在4-等腰5点集的基础上，刻画了含某个具体构型的凸4-等腰6点集。　　(4)构造出了3个新的4-等腰9点集。