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奇异边值问题一直是数学工作者和其他科学工作者关心的重要问题之一，它起源于核物理，气体动力学，流体力学，边界层理论以及非线性光学等，本文主要利用非线性泛函分析的拓扑度方法研究微分方程组正解的存在性.
第一章考虑Banach空间中二阶三点奇异边值问题{x"(t)+f(t,x(t))=θ,t∈(0,1),x(0)=θ,αx(η)=x(1),η∈(0,1),α∈(0,1);(1.2.1)多个正解的存在性.其中f(t，x)在t=0，t=1，x=θ点有奇异性.通过构造一个特殊的锥，利用锥上的不动点指数，得到了至少两个正解的存在性.其主要结果如下：定理1.2.2若(H1)-(H5)成立，则问题(1.2.1)在C[J,E]∩C2[(0，1)，E]中至少有两个正解.
最后给出例子说明我们的条件是合理的.
第二章考虑Banach空间中半直线上奇异脉冲微分方程{x"(t)+f(t,x(t))=θ,t≠tk,t∈(0,+∞),△x|t=tk=Ik(x(tk)),(k=1,2,…m)△x|t=tk=θ,x(0)=θ,x(+∞)=y∞≥θ;(2.2.1)正解的存在性.其中θ表示E的零元，f(t，x)在t=0点有奇异性，即limt→0+‖f(t，·)‖=∞.f∈C[J0×P,P]，Ik∈C[P,P]，k=1，2，…m，其中J0=(0，+∞).通过构造一个特殊的锥，利用锥拉伸与锥压缩不动点定理，得到了至少一个正解的存在性.其主要结果如下：定理2.2.1若(H1)-(H5)成立，则问题(2.2.1)至少有一个正解.
最后给出例子说明我们的条件是合理的.第三章研究了Banach空间中半直线上奇异脉冲微分方程{x"(t)+f(t,x(t),x(t))=θ,t≠tk,t∈(0,+∞),△x|t=tk=Ik(x(tk)),(k=1,2,…m)△x|t=tk=θ,x(0)=x0＞θ,x(+∞)=y∞≥θ;(3.2.1)的正解.其中θ表示E的零元，f(t，x，x)在t=0点有奇异性，即limt→0+‖f(t，·，·)‖=∞.f：J0×P×P→P,满足Carathéodorys条件(即，对每一点(x，y)∈P×P，函数f(·，x，y)在J0上可测；对于几乎处处的t∈J0，函数f(t，·，·)在P×P上连续).Ik∈C[P,P]，k=1，2，…m，其中J0=(0，+∞).
利用M(o)nch不动点定理，得到了至少一个正解的存在性.其主要结果如下：定理3.2.1若(H1)和(H2)成立，则问题(3.2.1)至少有一个正解满足x(t)∈DC1[J，P]且x(t)≥x0.
最后给出例子说明我们的条件是合理的.最后一章考虑二阶拟线性微分方程组边值问题{(ψp(x))(t)+a(t)f(t,x(t),y(t))=0,t∈(0,1),(ψq(y))(t)+b(t)g(t,x(t),y(t))=0,t∈(0,1),x(0)-B0(x(0))=x(1)+B0(x(1))=0;y(0)-B1(y(0))=y(1)+B1(y(1))=0;(4.1.1)三个正解的存在性.其中ψp(υ)=|υ|p-2υ，ψq(υ)=|υ|q-2υ，p，q＞1，f，g是非负连续的函数.
利用五个泛函的不动点定理，得到了至少三个正解的存在性.其主要结果如下：定理4.2.1设(H1)-(H3)成立，且存在0＜a＜b＜t1/t2b≤c使得f(t.x，y)，g(t，x，y)满足如下条件(H4)t∈[0，1],‖(x，y)‖≤c/t3f(t，x，y)≤1/∫σ10a(u)duψp(c/m+t3)g(t，x，y)≤1/∫σ20b(u)duψq(c/m+t3)(H5)t∈[t1,t2],b≤‖(x,y)‖≤t1/t2bf(t,x,y)≥1/∫t2t1a(u)duψp(b/t1)g(t,x,y)≥1/∫t2t1b(u)duψq(b/t1)(H6)t∈[0,1],a/r≤‖(x,y)‖≤af(t,x,y)＜1/∫σ10a(u)duψp(a/σ1-mc/σ1(m+t3))g(t,x,y)＜1/∫σ20b(u)duψq(a/σ2-mc/σ2(m+t3))则方程组(4.1.1)至少存在三个正解(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)使得max0≤t≤1‖(x1(t)，y1(t))‖＜a，mint1≤t≤t2‖(x2(t),y2(t))‖＜b，max0≤t≤1‖(x3(t),y3(t))‖＞d,mint1≤t≤t2‖(x3(t),y3(t))‖＜b,min0≤t≤t3‖(xi(t),yi(t))‖≤c,(i=1,2,3).
定理4.2.2设(H1)-(H3)成立，且存在0＜a＜b＜t1/t2b≤c使得f(t，x，y)，g(t，x，y)满足如下条件(H4)t∈[0,1],‖(x,y)‖≤σ2c/t3f(t,x,y)≤1/∫10a(u)duψp(c/m+1)g(t,x,y)≤1/∫σ20b(u)duψq(c/m+t3)(H5)t∈[t1,t2],b≤‖(x,y)‖≤t2/t1bf(t,x,y)≥1/∫t2t1a(u)duψp(b/t1)g(t,x,y)≥1/∫1σ2b(u)duψq(b/1-t2)(H6)t∈[0,1],a/r≤‖(x,y)‖≤af(t,x,y)＜1/∫10a(u)duψp(a/m+1)g(t,x,y)＜1/∫1σ2b(u)duψq(a/m+1-σ2)则方程组(4.1.1)至少存在三个正解(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)使得max0≤t≤1‖(x1(t)，y1(t))‖＜a，mint1≤t≤t2‖(x2(t),y2(t))‖＜b,max0≤t≤1‖(x3(t),y3(t))‖＞d,mint1≤t≤t2‖(x3(t),y3(t))‖＜b,max0≤t≤t3‖(xi(t),yi(t))‖≤c,(i=1,2,3).