【摘 要】
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孤子方程是非线性科学领域中极具潜力的课题.本文考虑广义TD族和几个非线性发展方程.现在已有许多方法得到非线性方程的解,其中Darboux变换是一种自然而美妙的方法,它从方程
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孤子方程是非线性科学领域中极具潜力的课题.本文考虑广义TD族和几个非线性发展方程.现在已有许多方法得到非线性方程的解,其中Darboux变换是一种自然而美妙的方法,它从方程的一个平凡解出发求得精确解.本文第一部分介绍了最原始的Darboux变换和Darboux阵方法,以此为基础在下文中构造广义TD族和几个非线性发展方程的Darboux变换.第二部分考虑广义TD族在适当的变换下,推导出了几个(2+1)维或者(1+1)维非线性发展方程,并且给出第三部分,在已知条件下,给出广义TD族的Darboux阵(γ, A_k, B_k, C_k和D_k(0≤k≤N-1)是x,y与t的函数),相应的得到了广义TD族的Darboux变换,同时也得到了几个非线性发展方程的Darboux变换.第四部分,以平凡解u,v为常数,且v≠0作为种子解,利用已构造的Darboux变换生成了广义TD族和几个(2+1)维或者(1+1)维非线性发展方程的解,尤其得到了Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程的一组新解.并且讨论了N=1和N=2前两种情形。当N=1时,适当选择参数,得到单孤子解并做出图像;当N=2时,适当选择参数,作出了广义TD族的优美的三孤子碰撞图像。
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