【摘 要】
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偏微分方程数值解在计算数学的研究领域中占有重要地位,有限差分,有限元和有限体积是三种主要方法.紧差分方法主要指节点少精度高的一类有限差分格式,因其简单性和高精度,一直受到重视.本文针对抛物型方程第三边值问题,使用有限体积离散方法,在充分吸收紧差分格式离散思想的基础上,构造了一类具有高精度的有限体积格式,我们称其为紧有限体积格式.全文共分三章,第一章为引言,综述有限体积元方法和紧差分方法的研究进展,
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偏微分方程数值解在计算数学的研究领域中占有重要地位,有限差分,有限元和有限体积是三种主要方法.紧差分方法主要指节点少精度高的一类有限差分格式,因其简单性和高精度,一直受到重视.本文针对抛物型方程第三边值问题,使用有限体积离散方法,在充分吸收紧差分格式离散思想的基础上,构造了一类具有高精度的有限体积格式,我们称其为紧有限体积格式.全文共分三章,第一章为引言,综述有限体积元方法和紧差分方法的研究进展,并简述了本文格式的主要构造思想.本文第二章针对一维抛物型方程第三边值问题提出了一种紧有限体积格式,该格式形成的线性代数方程组具有对称三对角性质,且不可约占优,可以使用追赶法求解.证明了格式按照离散L2范数在空间方向具有3.5阶精度,在时间方向具有2阶精度.数值算例说明理论分析仍有改进空间.第三章针对一维半线性抛物型方程第三边值问题,在第二章的基础上提出了一种紧有限体积格式,该格式在构造过程中,主要解决了两个问题,一是采用新的理论分析方法,将格式空间方向收敛阶提高到4阶,二是对于方程右端的非线性项进行线性化,最终构造的紧有限体积格式在空间方向具有4阶精度,时间向具有2阶精度.该格式形成的线性代数方程组具有三对角性质,可以使用追赶法求解.数值算例验证了理论分析的正确性,并说明了格式的有效性.
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