【摘 要】
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非凸优化问题广泛存在于实际工程应用中,如稀疏优化、机器学习、机组组合等.基于Peaceman-Rachford（PR）分裂算法及其衍变版本在凸优化和非凸优化的研究,本文主要探究PR分裂算法求解带不可分结构的非凸优化问题.首先,本文考虑一类带线性约束的非凸不可分优化问题,其目标函数为两个可分结构和一个不可分结构之和.将PR分裂算法思想用于设计此问题解法,在子问题中加入Bregman距离,提出一个Br
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非凸优化问题广泛存在于实际工程应用中,如稀疏优化、机器学习、机组组合等.基于Peaceman-Rachford（PR）分裂算法及其衍变版本在凸优化和非凸优化的研究,本文主要探究PR分裂算法求解带不可分结构的非凸优化问题.首先,本文考虑一类带线性约束的非凸不可分优化问题,其目标函数为两个可分结构和一个不可分结构之和.将PR分裂算法思想用于设计此问题解法,在子问题中加入Bregman距离,提出一个Bregman型PR分裂算法.在常规假设条件下,包括对于乘子更新项中松弛因子的估值区间以及算法迭代点列的有界性假设,获得算法全局收敛性.在效益函数满足Kurdyka-?ojasiewicz（KL）性质时,证明该算法的强收敛性.另外,当KL性质关联函数具有特殊结构时,分析获得相应收敛率结果.初步数值试验说明两次乘子修正技术的有效性.进一步,将线性近似思想运用到Bregman型PR分裂算法中,得到一种线性近似Bregman型PR分裂算法.该算法扩大了上述算法中松弛因子的阈值范围.在一般假设条件下,得到算法的收敛性和收敛率结果.最后,数值试验验证算法的数值有效性.其次,为求解更宽泛的带有线性约束及可分闭凸集约束的非凸不可分优化问题,在对该问题进行等价处理的基础上,改进传统分裂算法中拉格朗日乘子更新技术,提出一种改进的Bregman型PR分裂算法对其进行迭代求解.在适当的基本假设条件下,证明算法的全局收敛性以及强收敛性.初步试验结果表明改进算法的数值有效性.
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