拟线性椭圆型方程是偏微分方程理论的一个重要分支,对于这种方程的解的存在性与非存在性,唯一性与正则性历来是人们研究的主题,特别是对含有临界指数或临界位势的拟线性椭圆型方程Dirichlet问题的研究,近年来是一个热点问题.该文从不同的角度(如,含临界指数,含临界位势或者无穷区域)讨论了两种算子方程—-p-Laplace算子方程和p-平均曲率算子方程在失去紧张的情形下的解的存在性问题.对于含有临界指数的p-Laplace算子的Dirichlet问题的无穷多解的存在性,国内外还很少有人研究.该文利用集中紧原理,不要求(PS)条件的山路引理,Clark临界点理论和亏格的性质等,讨论了这种问题的无穷多解的存在性.从而在较弱的条件下推广了p=2时的某些结果.由于无界区域上的问题也是失去紧性的问题,因此研究这类问题与研究临界指数问题一样具有一定的困难.该文讨论了一类无界区域上p-Laplace算子方程的正解的存在性,从而推广了p=2时的某些结果.对于含临界位势的非线性椭圆型方程Dirichlet问题的研究,目前也是一个热闹课题.但大部分是针对于p=2或凸非线性情形.该文首次探讨了含临界位势或超临界位势的p-Laplace算子凹凸非线性椭圆型方程Dirichlet问题正解的存在性.由于凹凸非线性比凸非线性更难得到(PS)序列的有界性,从而证明这类问题有一定的难度.该文利用Hardy不等式,Ekeland变分原理及山路引理分别讨论了次临界指数和临界指数情形的这类问题的正解的存在性.对于p-平均曲率算子非线性方程的研究,目前还停留在次临界指数且p≥2的情形.该文首次讨论了这种算子的含临界指数或临界位势,甚至超临界位势的Dirichlet问题.对于只含有临界指数的p-平均曲率算子(p≥2)的研究,该文采用Nehari型对偶性质及定义同伦稳定集簇(a homotopy-stable family)的对偶集(dual set)的方法,证明了这种问题的正解的存在性;对于含有临界位势或超临界位势的p-平均曲率算子(p>1)的研究,该文仍采用Hardy不等式,Ekeland变分原理及满足(PS)条件或不满足(PS)条件的山路引理,证明了这种算子的Dirichlet问题的正解或无穷多解的存在性.以上介绍的拟线性椭圆型问题,由于它们大多来源于几何,物理学等问题中,因此一直受到人们的关注,也很值得进一步研究.该文第二章讨论了如下形式的非线性方程的无穷多解的存在性:第三章主要讨论了下列无界区域上非线性方程正解的存在性:第四章讨论了如下形式含有临界位势或超临界位势的凹凸非线性椭圆型方程正解的存在性:第五章主要考虑如下含临界指数的P-平均曲率算子方程:第六章主要研究如下含临界位势或超临界位势的p-平均曲率算子方程: