论文部分内容阅读
全文共分三章：
第一章，基本概念及其基本性质的简要回顾
一直以来相依随机变量序列的理论研究都是概率极限理论研究者们的热门话题.对于正负相依的基本概念起源于Harris(1960).在这里我们只考虑正相伴和负相伴两种情形.此章中我们主要回顾了它们的基本概念和主要性质.如：
对PA随机变量序列，Rao(2002)给出了如下著名的Hejek-Renyi型不等式：
设{Xn，n≥1}是PA列，且具有有限方差，{bn，n≥1}是一列正的单调不减的实数.则对(A)ε＞0，有P(max1≤k≤n|1/bnk∑i=1(Xi-EXi)|≥ε)≤4/ε2{n∑j=1VarXj/b2j+∑1≤j≠k≤nCov(Xj,Xk)/bjbk}.
对NA随机变量序列，Matula(1992)给出了其部分和的几乎处处收敛性定理：
设{εn,n≥1}是一列具有0均值，有限方差的NA随机变量.如果∑∞n=1Var(εn)＜∞，则∑∞n=1εn收敛a.s.
而且本文对多元回归模型中最小二乘估计的强相合性列出了一些前人的主要结论.
第二章，PA随机变量序列的Hajek-Renyi型不等式的应用
本章在一定条件下对PA随机变量序列建立了其部分和的强大数定律型的结果以及X1，X2，…，Xn的算术平均的完全收敛型的结果.已有学者对此做了研究，但本文采用的是不同的方法进行论证，即其方法是建立在Hajek-Renyi型不等式之上的.
下面列举一下本文的主要结论，对一般的强大数定律有：
设{Xn，n≥1}是PA序列，{gn(x)，n≥1}是偶函数序列，它们在区间x＞0中取正值，不减.而且对每一个n满足下列条件之一：
(i)在区间x＞0中，x/gn(x)不减；(ii)在区间x＞0中，x/gn(x)和gn(x)/x2都是不增的，且EXn=0.此外{an,n≥1}是常数列，满足0＜an↑∞和∑∞n=1(Egn(Xn)/gn(an))1/2＜∞.则当n→∞时，1/ann∑k=1Xk→0a.s.
基于这一定理本文取特殊的偶函数序列{gn(x)，n≥1}及常数列{an，n≥1}得到了两个有用的推论.
对完全收敛性我们有：
设{Xn，n≥1}是PA序列，满足对(A)ε＞0，有∞∑j=1VarXj/j2+∞∑j≠k=1Cov(Xj,Xk)/j·k＜∞，和∞∑j≠k=1P(|j∑i=1(Xj-EXj)|≥jε，|k∑i=1(Xi-EXi)|≥kε)＜∞.则有∞∑n=1P(|n∑i=1(Xi-EXi)|≥nε)＜∞.对加权和的稳定性我们有：
设正数列{ωi，i≥1}满足：Wn=∑ni=1ωi↑∞，且当n→∞时，ωn/Wn→0；PA列{Xn，n≥1}满足：EXn=0，n≥1；∑n≥1P(|Xn|≥bn)＜∞；∑n≥1/bnEXbnn＜∞；∑n≥1W-2nn∑j=1ωjωnCov(xbjj，Xbnn)＜∞.其中bn=Wn/ωn，n≥1.则当n→∞时，Tn-ETn/Wn→0a.s.其中Tn=∑1≤i≤nωiXi,n≥1.
第三章，具有NA误差项的多元回归模型中最小二乘估计的强相合性
在这一章中考虑多元回归模型：yi=β1xi1+β2xi2+…+βpxip+εi，(i=1，2，…)，(0.3.1)在对误差项和设计矩阵限制了一定的条件下建立了具有NA误差项的多元回归模型中系数的最小二乘估计的强相合性，并且进一步得到了NA序列的样本均值的加权和的几乎处处收敛性的结果.
本文的主要结果有：设{εn，n≥1}是一NA列，满足Eεn=0，∑∞n=1Var(εn)＜∞.设k是某一正整数，对每一个n≥1，令Tn是一个k维常数向量，当k=1时，T1，T2，…，Tn,…是同号序列.令Hn=∑ni=1TiTi′.假设对某正整数m，Hm是正定矩阵.且若对同号常数序列{cn，n≥1}有：∑∞i=m+1ci2(1+T′iH-1i-1Ti)＜∞.则依概率1，有∑ni=m+1ciT′iH-1i-1(∑ij=1Tjεj)收敛，当n→∞时.
作为此结论的特殊情形就是k=1和Ti=1时，此时本文以推论的形式给出了NA序列的样本均值的加权和的几乎处处收敛性.
在上述结果的基础上得到了具有NA误差项的多元回归模型中最小二乘估计的强相合性结论：
在模型(0.3.1)中，设{εn，n≥1}是一NA列，满足Eεn=0，∑∞n=1Var(εn)＜∞.假设对某正整数m，X′mXm是正定矩阵.对n≥m，设bn=(bn1，bn2，…，bnp)是模型(0.3.1)的系数的最小二乘估计.令Vn=(v(n)ij)1≤i，j≤p=(X′nXn)-1.
在p=1时，设计矩阵Xn成为一向量，此时假设此向量中的元素同号.当p≥2，如式(3.1.15)定义向量Tn，而且如果p=2，T1，…，T2，…是同号的.采用引理3.1.4中的符号与结果，设d1，d2，…，dn，…是同号序列.
固定j=1，2，…p,如果limn→∞v(n)jj=0.则对(A)δ＞0，依概率1，当n→∞时有：bnj-βj=o({v(n)jj|logv(n)jj)|1+δ}1/2).