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求解非线性矩阵方程的问题主要是通过分析所给方程参数的性质来得到方程的解.由于Hermite正定解在实际中应用较多，所以我们只讨论此类解的情况.在现实生活中，方程X-A*X-PA=I的来源相当广泛，包括控制理论，动态规划，统计和椭圆型偏微分方程的差分方法求解等多个领域.关于此类方程的求解通常涉及到三个问题：(1)可解性问题，即方程有解的充分和必要条件；(2)数值求解问题，即有效的数值方法；(3)解的扰动分析.
首先，本文讨论了方程X-A*X-PA=I(1)在p＞0时的可解性，主要结论如下：定理1对任意的矩阵A∈Cn×n，方程(1)总是有解.
定理2对任意的可逆矩阵A∈Cn×n，存在酉矩阵P，Q和对角矩阵Γ＞I，∑＞0，使得A=P*ΓPQ∑P,其中Γ2-∑2=I.此时X=P*Γ2P是方程(1)的解.
定理3若A是正规矩阵，即存在一个酉矩阵P满足A=P*ΛP,其中Λ=diag(λ1，λ2，…，λn)，λi，i=1，2，…，n是A的特征值，则X=P*diag(μ1，μ2，…，μn)P是方程(1)的解，其中μi(i=1，2，…，n)是方程μi-｜λi｜2μ-pi=1的唯一正解.
定理4若A是酉矩阵并且p≤p0，其中p0＞0满足pp00/(p0+1)+1=p0，则方程(1)有唯一解X=δI，其中δ是方程δ=1+δ-p的唯一正解.
同时，本文还在方程有解为X时，由如下定理给出了解的一些性质.
定理5方程(1)不存在可比较的解，即对于方程(1)的任意两个解X(1)和X(2)(X(1)≠X(2))，不可能有关系X(1)≤X(2)或者X(1)≥X(2).@定理6若方程(1)有解为X，则I+1/αpA*A≤X≤I+1/βpA*A.其中α，β的定义如下：(-κ)=λmax(A*A)，(κ-)=λmin(A*A)α0=1+(-κ)，αn=1+(-κ)/(1+(κ-)/αpn-1)，n=1，2，3，…β0=1，βn=1+(κ-)/(1+(-κ)/βpn-1)p，n=1，2，3，….其次，当p＞1时，本文通过两种不同的迭代方法，利用不动点定理分别求出了方程(1)的迭代解，并且讨论了迭代解的收敛性.
定理7若β＞(p(-κ))1/(p+1)或者(p((-κ)1/p+1-1)(1+((-κ)/pp)1/p+1)p＜(κ-)≤(-κ)pp/(p-1)p+1,则1.方程(1)有唯一的解X，并且满足βI≤X≤αI.2.X可以由以下迭代得到：Xn+1=I+A*X-pnA，n=0，1，2，…其中X0∈[βI，αI].3.令q=p‖A*A‖2/βp+1＜1，则‖Xn-‖2≤qn/1-q‖X1-X0‖2，‖Xn-X‖2≤q/1-q‖Xn-Xn-1‖2.定理8若pP/(p-1)p+1＜(κ-)≤(-κ)＜(γ-1)(1+(κ-)/γp)p，其中γ是方程pγp-1(γ-1)2=(-κ)在(1，+∞)上的唯一正解，则1.方程(1)有唯一解X，并且满足ηI≤X≤ξI，其中ξ=1+(κ-)/ηp，η∈(γ，((p-1)(κ-))1/p)满足方程(η-1)(1+(κ-)/ηp)p=(-κ).
2.X可以由以下迭代得到：Xn+1=(A(Xn-I)-1A*)1/p，n=0，1，2，…，其中X0∈[ηI，ξI].3.令q=‖A*A‖2/pηp-1(η-1)2＜1，则‖Xn-X‖2≤pn/1-p‖X1-X0‖2，‖Xn-X‖2≤p/1-p‖Xn-Xn-1‖2.
当p≤1时，本文证明了方程(1)的解的唯一性，并对此唯一解做了扰动分析，最后用数值例子验证了以上结论.
定理9当p≤1时，方程(1)有唯一的正定解X，并且对任意的X0＞0，X可以由以下迭代得到：
Xn=I+A*Xn-pn-1A，n=1，2，…即limn→∞Xn=X.
定理10假设X和(～X)分别是X-A*X-1A=I和(～X)-(～A)*(～X)-1(～A)=I的解。令△A=(～A)-A.若σ＜1且ε＜ι(1-σ)2/ζ(ι+ισ+2θ2+2√(ισ+θ2)(θ2+ι))，‖(～X)-X‖≤2ιε/ι(1+ζε-σ)+√ι2(1+ζε-σ)2-4ιζε(ι+θ2)≡ξ(1)*‖(～X)‖/‖X‖≤ξ(1)*/‖X‖.
定理11设X和(～X)分别是矩阵方程X-A*X-1A=I和(～X)-(～A)*(～X)-1(～A)=I的解.
令△A=(～A)-A如果‖△A‖2≤√‖A‖22+ζ-‖A‖2，其中ζ=β3/4α3，则‖(～X)-X‖2/‖X‖2≤ρ‖△A‖2，其中ρ=2(‖A‖2+‖△A‖2)α/β2+√β4-4α3β(2‖A‖2+‖△A‖2)‖△A‖2.定理12对矩阵方程X-A*X-1A=I，定义为c(X)=limδ→0‖△A/α‖F≤δsup‖△X‖F/ξδ，的Hermite正定解X的条件数有显示表达式：c(X)=1/ξ‖αUc‖2，其中矩阵Uc=[U1+U2Ω2-Ω1].Ω1+Ω2U1-U2定理13对矩阵方程X-A*X-1A=I，设A是实矩阵，定义为c(X)=limδ→0‖△A/α‖F≤δsup‖△X‖F/ξδ，的Hermite正定解X的条件数有显示表达式：c(X)=1/ξ‖αUr‖2，其中Sr=(I+(ATX-1)(×)(ATX-1))-1，Ur=S[I(×)(ATX-1)+((ATX-1)(×)I)Π].
定理14令X＞0近似于矩阵方程X-A*X-1A=I的解X，且令其余项为R((～X))三I+A*(～X)-1A-(～X)满足‖R(～X)‖2≤1-‖(～X)-1/2A(～X)-1/2‖22/8‖(～X)‖2(～X)-1‖2min{1‖(～X)-1/2A(～X)-1/2‖22/‖(～X)-1/2A(～X)-1/2‖22}，则‖X-(～X)‖2≤2‖(～X)‖2‖(～X)-1‖2‖R(～X)‖2/1-p‖(～X)-p/2A(～X)-1/2‖22.
定理15假设X和(～X)分别是矩阵方程X-A*X-pA=I，(～X)-(～A)*(～X)-p(～A)=I，p＜1的解。令△A=(～A)-A.若‖△A‖2≤√‖A‖22+ζ-‖A‖2,其中ζ=(α+p-pα)2β2+p/4α3，则‖(～X)-X‖2/‖X‖2≤ρ‖△A‖2,其中ρ=2(2‖A‖2+‖△A‖2)α/(α+p-pα)β1+p+√(α+p-pα)2β2+2P-4α3βp(2‖A‖2+‖△A‖2)‖△A‖2.定理16对矩阵方程X-A*X-pA=I(p＜1)，定义为c(X)=limδ→0‖△A/α‖F≤δsup‖△X‖F/ξδ的Hermite正定解X的条件数c(X)有显示表达式：c(X)=1/ξ‖αUc‖2其中矩阵Uc=[U1+U2Ω2-Ω1].Ω1+Ω2U1-U2定理17对矩阵方程X-A*X-PA=I(p＜1)，设A是实矩阵，定义为c(X)=limlimδ→0‖△A/α‖F≤δsup‖△X‖F/ξδ的Hermite正定解X的条件数c(X)有显示表达式：c(X)=1/ξ‖αUr‖2，其中Sr=(I+sinpπ/π∫∞0[(λI+X)-1A]T(×)[(λI+X)-1A]Tλ-pdλ)-1，Ur=Sr[I(×)(ATX-p)+((ATX-p)(×)I)Π].
定理18令(～X)＞0垫似于矩阵方程X-A*X-pA=I(p＜1)的解X，且其余项R((～X))三I+A*(～X)-pA-X满足‖R(～X)‖2≤1-p‖(～X)-p/2A(～X)-1/2‖22/8‖(～X)‖2‖(～X)-1‖2min{1,1-p‖(～X)-p/2A(～X)-1/2‖22/p‖(～X)-p/2A(～X)-/2‖22}，则‖X-(～X)‖2≤2‖(～X)‖2‖(～X)-1‖2‖R(～X)‖2/1-p‖(～X)-p/2A(～X)-1/2‖22.