【摘 要】
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有限元方法因其具有完善的数学理论及对不规则几何区域较强的适应性等特点,被广泛应用于科学与工程计算领域。虽然对有限元方法已经有大量的研究工作,但仍有一些问题值得进一步探讨。标准有限元先验误差估计只给出了网格尺寸与有限元误差之间的渐近关系,但没有体现网格质量（如单元形状和大小、网格对称性）对有限元解逼近精度的影响。本文借助单元分析,构造了两个可计算量Ge和Gv来刻画网格质量和有限元误差之间的关系,从而
【基金项目】
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湖南省研究生创新项目 CX2015B209；
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有限元方法因其具有完善的数学理论及对不规则几何区域较强的适应性等特点,被广泛应用于科学与工程计算领域。虽然对有限元方法已经有大量的研究工作,但仍有一些问题值得进一步探讨。标准有限元先验误差估计只给出了网格尺寸与有限元误差之间的渐近关系,但没有体现网格质量（如单元形状和大小、网格对称性）对有限元解逼近精度的影响。本文借助单元分析,构造了两个可计算量Ge和Gv来刻画网格质量和有限元误差之间的关系,从而给出了更精细的有限元误差估计式。基于新的误差估计,本文推导出经典的超收敛结果。大量数值实验表明,对各向同性和各向异性的网格和问题,Ge和Gv都可有效估计有限元数值解的逼近误差。本文给出了有限元误差|u-uh|1与插值误差|u-uI|1具有等价性的结论;然后基于这种等价性,借助分片线性插值误差展开式以及Hessian重构技术,构造出一种H1型后验误差估计子。大量自适应数值实验表明,所构造的后验误差估计子是可靠和有效的。本文针对相场晶体模型,开发了一个简单有效的自适应有限元方法。该方法在时间上采用标量辅助变量（SAV）法,在理论上可以保证数值格式的能量耗散性质。为了更好地捕捉相界面,该方法采用重构梯度在单元上的L2范数作为自适应指标子。本文以Landau-Brazovskii模型为例,用线性有限元方法求解Allen-Cahn型动力学方程,模拟了二维区域上介观尺度下两嵌段共聚物的自组装行为。数值实验表明,该方法可以精确模拟相变过程以及在矩形和其他更一般凸区域（三角形和圆形区域）上获得标准的有序结构。
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