Banach空间的等距理论的诞生和发展都与Banach空间的其它领域有着不可分割的联系,至今仍是泛函分析学科中相当活跃的研究领域.它具有特殊的特性和方法,通常许多命题的证明都需要相当强的技巧性,从而增加了研究的难度性,至今还有许多未解决的问题.本人主要研究自己感兴趣的赋β-范空间的等距理论,专门研究三个方面的问题包括Tingley等距延拓问题,Mazur-Ulam等距与仿射的关系问题,和等距逼近问题.它们在Banach空间几何理论及算子理论中都有重要的理论意义,并在自然科学中也有着广泛的实践价值.　　 在第一章中,本人研究单位球面间的等距延拓问题,即Tingley问题(见问题1).在1.2节中,本人研究赋范空间单位球面间等距算子的延拓与一个范数不等式的关系.该不等式是定光桂教授在研究不同类型的空间的Tingley问题时首次提出,并由此证明任何一个从Banach空间E的单位球面S1(E)(S1(E)的光滑点在S1(E)中稠密)到C(Ω)的单位球面间的满等距映射在满足此不等式下是可以延拓到全空间上的线性映射.方习年和王建华[40]把此结果推广到一般的Banach空间中,并去掉了条件:Banach空间E的单位球面的光滑点在其稠密.在文[130]中我们得到了在赋β-范空间中更一般的结果.该结果(当β=1时)推广了文[34,75,40,41,8]中的相应结果；另一方面,我们证明了该不等式也是非满球面等距可以延拓的充分条件.其中的一个结论为(见定理1.2.2):设E,F是赋范线性空间,V0是从E的单位球面S1(E)到F的单位球面S1(F)的等距映射.对任何x,y∈S1(E)有‖V0x-｜λ｜V0y‖≤‖x-｜λ｜y‖,()λ∈R.则V0能被延拓到全空间上的等距.此外,如果V0是满射或F是严格凸,则V0能被延拓为全空间上的线性等距映射.　　 在1.3节中,我们利用单位球面的几何性质来研究更一般的Tingley问题(见问题1.3.1),得到了几个有趣的结果,其中的一个重要结果是:(见定理1.3.4)设E和F是β-范空间(0<β≤1).令V0:S1(E)→F是一个等距映射,满足条件:若x1+x2+x3+x4=x5+x6,xi∈S1(E),必有V0x1+V0x2+V0x3+V0x4=V0x5+V0x6,则V0能被延拓为全空间上的线性等距映射.此外,我们提出了一些值得进一步研究的问题:(1)(见问题1.3.2)定理1.3.3中的内积空间能否换为Birkhoff-James正交空间?(2)(见问题1.3.3)定理1.3.5中的β-严格凸β-范空间(0<β<1)能否被β-范空间代替?　　 在1.4节中,我们致力于研究2-等距的推广.首先我们引入两个新概念即(λ,ψ,2)-等距和弱(λ,ψ,2)-等距,然后讨论它们与等距的关系并且研究它们的延拓问题.主要的结果是:(见定理1.4.3)在赋β-范空间E中,正齐性映射V0:B1(E)→B1(E)是(1,ψ,2)-等距的充要条件是‖V0x‖≥‖x‖,()x∈B1(E).　　 在1.5节中,我们考虑的空间是E=Lp(Ω,∑,μ)和F=Lp(v,H)(1