【摘 要】
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图的电阻距离和可控性是图论和网络理论研究的重要课题.如果把连通图G中的每条边都看作单位电阻,则图G就可以看作一个电网络,这样G中任意两个顶点之间的电阻距离就定义为电网络中这两个对应节点之间的等效电阻,而G中所有点对之间的电阻距离之和就称作图G的Kirchhoff指标.如果我们用G中的顶点代替现实中的个体,顶点之间有边相连代表个体之间存在相互作用,则G就看作为一个网络系统.若在有限时间内使得系统从任
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图的电阻距离和可控性是图论和网络理论研究的重要课题.如果把连通图G中的每条边都看作单位电阻,则图G就可以看作一个电网络,这样G中任意两个顶点之间的电阻距离就定义为电网络中这两个对应节点之间的等效电阻,而G中所有点对之间的电阻距离之和就称作图G的Kirchhoff指标.如果我们用G中的顶点代替现实中的个体,顶点之间有边相连代表个体之间存在相互作用,则G就看作为一个网络系统.若在有限时间内使得系统从任意初始状态趋于任意给定的状态,则称此系统可控.本文主要研究两类图运算的电阻距离和Kirchhoff指标,以及邻居冠图系统的可控性.共分为四章,具体内容如下.在第一章中,介绍了本文中用到的概念和记号,并综述了图的电阻距离和Kirchhoff指标,复杂网络可控性方面的研究进展.在第二章中,我们研究了图G的两种一元运算图RT（G）和H（G）的电阻距离和Kirchhoff指标.对连通图G的每一条边vivj添加一个新的顶点vij,连接该点和对应的边组成一个3圈vivjvij所得到的图称为G的三角剖分图T（G）.在T（G）中对G的原点都添加一条与其对应的边,连接该点与这条新边的两个端点,得到的新图记为RT（G）.设连通图G的最大度为Δ,在G的每个顶点vi上添加Δ-di（其中di表示顶点vi的度）条悬挂边所得到的新图记为H（G）.利用图论和代数组合的方法,我们得到了RT（G）和H（G）的电阻距离和Kirchhoff指标的解析计算公式.事实证明,这两类图运算均可以通过原图G的电阻距离和结构参数表示.特别地,我们的结果改进了其他学者之前的研究工作,将正则图的RT（G）的Kirchhoff指标推广到了任意图的RT（G）的Kirchhoff指标.在第三章中,我们研究了邻居冠图系统的可控性.设G1和G2分别是顶点数为n1和n2的图,将图G2复制n1次,同时将图G1的每个顶点vi的邻点与图G2的第i个复制的所有顶点连边,所得的图称为G1和G2合成后的邻居冠图.根据PBH test和两个子图的特征和结构信息,我们得到了邻居冠图可控的充要条件.利用所得到的结果,我们推导出一些便于验证网络可控性的充分或必要条件.最后,通过几个例子来表明所得结论十分有效.最后,我们总结了前面两部分的主要内容,并且以此为基础提出了一些后续研究问题.
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