最优化理论与方法是一个应用比较广泛的数学分支,它所研究的最优化问题普遍存在于工程设计,资源分配,生产计划安排等实际应用领域。随着最优化理论的发展,关于可用于求解定义在黎曼流形上的优化问题的最优化方法及其收敛性的研究也越来越多。这些研究的必要性在于,许多实际应用领域出现的问题并不能归结为定义在线性空间上的优化问题,而需要在黎曼流形的结构下进行定义和研究。近些年来,关于黎曼流形上的带有次梯度的最优化方法及其收敛性质的研究取得了极大的进展,吸引了国内外学者的广泛关注。本文针对黎曼流形上的增量次梯度方法及其收敛性展开研究,该方法是求解黎曼流形上由若干分量函数的和构成的大规模优化问题的比较有效的方法。本文主要研究内容包括以下几个方面:首先,建立了求解黎曼流形上的由若干分量函数的和构成的大规模的无约束优化问题的增量次梯度方法,该方法的每次迭代可以看作是一个按固定顺序对每个分量函数进行次梯度迭代的循环。在此基础上,进一步研究了该方法在固定步长法则下的收敛性质,这里涉及的固定步长法则包括常数步长法则以及缩减步长法则。同时,给出了若干典型的应用实例。其次,进一步研究了前面提出的黎曼流形上的增量次梯度方法在动态步长法则下的收敛性质。在最优值已知和未知两种情况下分别定义了几种动态步长,并给出了方法在这几种步长法则下的收敛性质。此外,还定义了黎曼流形上的大规模约束优化问题的增量次梯度方法,得到了若干有理论意义和应用价值的收敛性结果。最后,分别构造了黎曼流形上的大规模的无约束和约束优化问题的随机的增量次梯度方法。这里的随机一方面体现在方法的每次迭代都是随机的选取分量函数进行次梯度迭代的,另一方面体现在每次迭代都是应用带有随机误差的次梯度作为方法的搜索方向的,也证明了这些方法在固定步长法则和动态步长法则下的收敛性质。