解析数论是数论中以解析方法作为研究工具的一个分支，对一些数论函数性质的研究在数论研究中占有很重要的地位，许多著名的数论难题都与之密切相关，因而研究它们的性质具有很大意义． 罗马尼亚数论专家F．Smarandache[1]教授在《只有问题，没有解答!》和另一位加拿大数论专家R．K．Guy所著的《数论中未解决的问题》中都提出了未解决的数论问题，许多学者对此进行了深入的研究，并获得了不少具有重要理论价值的研究成果，但是还有一部分问题有待于我们进一步去研究解决． 本论文基于以上想法，利用初等方法及解析方法研究了一些包含Smarandache函数的方程和混合均值，以及一些特殊函数的均值估计．具体来说，本文的主要成果包括以下几方面： 1．研究了F．Smarandache LCM函数SL(n)的相关知识，并分别对P(n)SL(n)和p(n)SL(n)进行均值估计，得到两个较好的渐近公式： 2．利用初等方法研究了包含Smarandache函数的方程求解问题，即S(n)2+S(n)=kn，给出了有限个形如n=pn1的正整数解，其中p=kn1-1是一个素数． 3．利用初等方法研究了关于n!的k次补数函数，并得到一个有趣的渐近公式这是关于n的k次补数函数的进一步升华．