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约束矩阵方程问题是指在满足一定条件的矩阵集合中求给定的矩阵方程解的问题.对约束矩阵方程问题的研究不仅对矩阵理论与方法研究具有重要意义,而且在许多科学技术领域如:控制论,信息论,振动理论,系统识别,结构动力模型修正和自动系统模拟等都有应用背景。本博士论文主要研究如下几类约束矩阵方程问题.
问题Ⅰ给定A,B∈Rp×n,C,D∈Rn×q,X0∈Rk×k,求X∈S使得(min)(X∈S)(||AX-B||2F+||XC-F-D||2F)其中S为满足X[1∶k])=X0的对称,反对称,次对称和次反对称矩阵集合等.
问题Ⅱ给定A∈Rm×(2P+k),B∈R(2p+k)×q,C∈Rm×q,X0∈Rk+k,求X∈S,使得minX∈S||AXB-C||F其中S为满足XC(k)=X0的中心对称,中心反对称,双对称,双反对称,对称次反对称或反对称次对称矩阵集合等.
问题Ⅲ设SE是问题Ⅰ,Ⅱ的解集合,给定矩阵(X)∈Rn×n,求(X)∈SE,使得||(X)-(X)||F=minX∈SE||X-(X)||F
问题Ⅳ给定A,B∈Cm×n求X∈CnT×n(P,Q)(Cna×n)(P,Q)),使得AX=B
问题Ⅴ给定A,B,C∈Cn×n,求X∈Cnr×n(P,Q)(Cna×n(P,Q)),使得AXB=C
本文的主要结果如下:1.建立了求顺序主子阵约束下矩阵方程组(AX=B,XC=D)的对称、反对称,次对称、次反对称解及其逼近解的矩阵形式LSQR算法.2.建立了求中心主子阵约束下矩阵方程AXB=C的中心(反)对称、双(反)对称,对称次反对称,反对称次对称解及其逼近解的矩阵形式LSC2R算法.3.得到了矩阵方程AX=B和AXB=C有(P,Q)广义(反)自反解的充要条件及在有解条件下解的表达式,给出了矩阵方程AX=B的最佳逼近(P,Q)广义(反)自反解的表达式.
本文的主要创新点归纳如下:1.首次利用矩阵分块技巧与LSQR算法结合来求矩阵方程的主子阵约束解.2.首次按照约束矩阵的结构性质来分块,将主子阵约束矩阵方程最小二乘问题转化成矩阵方程组最小二乘问题来处理,减少了结构相同块在迭代过程中的计算,从而减少了迭代过程中的误差积累.3.利用拉直算子将高阶的向量形式最小二乘问题化成低阶的矩阵方程最小二乘问题来处理,减少了内存的负担.4.巧妙地选择初值,得到了求解主子阵约束矩阵方程问题的极小范数最小二乘解.5.丰富的数值算例验证了矩阵形式LSQR算法的有效性.6.利用矩阵的分块技巧研究矩阵方程的(P,Q)广义(反)自反解.