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近几十年来,人们发现在电子工程学、伴随有开关的电路、发生碰撞的机械工程、具有干摩擦的力学系统、控制论等各领域中对一些自然现象或工程技术的建模中存在非光滑的微分系统等.近年来,人们越来越关注对非光滑的微分系统理论和应用上的研究.本博士学位论文主要研究分段光滑微分方程的定性理论.具体为平面分段光滑微分系统的分段光滑轨道等价的正规形;一维分段解析的周期微分方程任意阶平均法理论及其在平面分段光滑微分系统中的应用;以及平面分段光滑微分系统在广义同宿环附近的极限环分支理论.论文的研究内容共分三个部分,具体如下.第一部分主要研究了具有Σ-中心的分段光滑微分系统的分段光滑等价正规形的存在性以及此类分段光滑微分系统扰动产生的极限环分支.正规形是研究动力系统的动力学性质的重要工具之一.光滑的动力系统的正规形理论的研究及其应用已有很长一段历史,而对于非光滑动力系统来说,正规形理论的相关研究还比较少.本文主要研究的是一类分段光滑的Σ-中心系统的正规形.Buzzi，Carvalho 和 Teixeira[J.Math.Pures Appl.,2014]研究了非退化 Σ-中心的Σ-等价正规形.他们给出的Σ-等价是通过同胚来定义的，此同胚变换并不能说明两向量场直接的关系.由于此变换不具有正则性,正规形的扰动并不能反映出一般非退化Σ-中心系统扰动后的动力学性质.故寻找光滑的同胚变换是关键,但也是难点.该部分利用全新的思想方法证明了任何具有Σ-中心的分段光滑微分系统均与一个非退化的Σ-中心正规形轨道等价,且给出了该等价变换的分段光滑性.这项工作从四个方面发展和改进了巴西数学家 Buzzi，Carvalho 和 Teixeira[J.Math.Pures Appl.,2014]的结果:1、Buzzi等的结果只解决了非退化中心的等价正规形问题,我们的结果用全新的方法统一解决了退化和非退化Σ-中心的等价正规形问题.2、我们的方法还给出正规形变换的分段光滑性.Buzzi等的方法得不到该结果.3、利用我们的结果可以处理原系统的极限环分支问题,而Buzzi等的结果只能得到正规形系统的极限环分支,得不到原系统的分支结果.4、利用该文发展的方法还部分解决了 Σ-中心与正规形系统的共轭问题.第二部分主要研究了一维分段解析的周期微分方程的任意阶平均法理论及其在平面分段光滑多项式微分系统中的应用.平均法理论是研究微分方程的周期解分支的重要工具之一.到目前为止关于光滑微分方程的平均法理论及其应用已有很丰富的成果,而对于分段光滑的微分方程的平均法理论近几年才受到人们的关注.Llibre与其合作者[Bull.Sci.Math.139（2015）,J.Diff.Eqns.258（2015）]为了研究分段光滑微分系统的极限环而给出了一、二阶平均法理论.我们发现他们给出的平均法理论仅仅能处理未扰系统为光滑的分段光滑微分系统.Llibre and Novaes[Llibre and Novaes,https://arxiv.org/abs/1504.03008vl]获得了研究分段光滑微分系统的周期解的一阶平均法理论,其中此处的分段光滑的微分系统的未扰系统的周期轨充满低维子流形.但作者仅给出了未扰系统为光滑的分段线性微分系统作为此理论的应用.就我们所知,他们给出的平均法理论的应用的所有分段光滑微分系统的未扰系统均是光滑的.本文主要考虑一维不连续周期微分方程的周期解的任意阶平均法理论.并将此平均法理论应用到平面分段光滑自治微分系统中,此处的分段光滑微分系统的未扰系统也是分段光滑微分系统.研究分段光滑微分系统的任意阶平均法理论的难点是未扰系统沿着周期轨的变分方程是分段光滑的,而它在平面分段光滑微分系统中的应用的难点是寻找恰当的变换将平面系统在周期轨簇中降维成一维分段光滑的周期微分方程.这项工作从两个方面发展和改进了现有的关于分段光滑微分系统的平均法理论的结果:1、给出了一维分段光滑微分系统的任意阶平均法公式.而已有的结果只给出一维分段光滑微分系统的一阶和二阶平均法公式.2、此结果改进了西班牙皇家科学院院士 Jaume Llibre教授与其合作者的工作[Llibre and Novaes,http-s://arxiv.org/abs/1504.03008vl],使得改进后的结果可以处理未扰动系统是分段光滑的情形,而Llibre等工作只处理未扰动系统是光滑的情形.第三部分主要研究了某类平面分段光滑微分系统在广义同宿环附近的极限环分支问题,而主要使用的工具是首阶Melnikov函数.Kunze[Sring-Verlag,（2000）]提到光滑动力系统中的Melnikov函数法可推广到非光滑微分系统中.Liu和Han[Internat.J.Bifur.Chaos 20（2010）]首次给出了分段光滑的near-Hamilton系统的首阶Melnikov函数的一般公式,并利用此公式研究了由一族闭轨线中分支出的极限环的个数问题.此处的闭轨族是由两个子系统中的正则轨线组成.Liang和Han[Chaos Solitons Fract.45（2012）]利用已有的首阶Melnikov函数一般表达式研究了在（双）广义同宿环附近的闭轨族分支出的极限环个数.而Liang和Han所要求的广义（双）同宿环是分段光滑Hamiltion系统的其中一（两）个子系统的正则闭轨线,且此正则闭轨线与不连续线相切于原点.Wei,Liang 和 Lu[Appl.Math.Comput.243（2014）]讨论了广义同宿环附近极限环分支理论,此广义同宿环是分段光滑的Hamilton系统的一个子系统的同宿环,且同宿环上的双曲鞍点在不连续线上.Liu,Han和Romanovski[Internat.J.Bifur.Chaos 25（2015）]考虑了分段光滑Lienad系统的广义（双）同宿环附近产生的极限环的个数问题,其中广义同宿环为一个子系统的过双曲鞍点的同宿环;广义双同宿环是由分段光滑的Hamilton系统的一个子系统的过双曲鞍点同宿环和另一个子系统的正则轨线组成.Xiong[Internat.J.Bifur.Chaos 26（2016）]给出了分段光滑的 near-Hamilton系统在广义双同宿环附近的Melnikov函数的前几项的具体表达式,以及扰动系统存在14个极限环的充分条件,其中此处的广义双同宿环是分段光滑微分系统的两个子系统的过同一个1阶尖点的同宿环组合而成,且尖点位于不连续线上.本文主要考虑分段光滑的near-Hamilton系统在广义同宿环附近的极限环分支问题,而此处的广义同宿环作为子系统的同宿环包含任意阶的幂零鞍点或幂零尖点.此处的研究难点是给出Melnikov函数关于Hamilton函数值h展开式的系数公式,尤其是关于h项的系数公式.这项工作从两个方面发展和改进了现有的光滑微分系统和分段光滑微分系统的极限环分支理论的结果:1、给出了过任意阶幂零鞍点或幂零尖点的广义同宿环外侧Melnikov函数关于Hamilton函数值h的渐近展开式,以及前部分项系数公式的性质,补充了现有的关于分段光滑微分系统的Melnikov函数的结果.2、改进并补充了 Maoan Han教授与其合作者、Atabaigi与其合作者、Yanqin Xiong等关于光滑微分系统的Melnikov函数表达式的结果[Zang,Han and Xiao J.Diff.Eqns.245（2008）,Han,Zang and Yang,J.Diff.Eqns.246（2009）,Han，Yang and Xiao，Internat.J.Bifur.Chaos 22（2012）,Atabaigi et.al.,Nonlinear Anal.75（2012）,Xiong Internat.J.Bifur.Chaos 25（2015）],使得改进后的结果可以处理光滑微分系统中过任意阶幂零鞍点或幂零尖点的同宿环内侧附近出现的极限环分支问题,包含所有已知的相关结果,亦为进一步研究光滑微分系统在过任意阶幂零鞍点或幂零尖点的同宿环附近产生的极限环分支理论提供帮助.