【摘 要】
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本文研究了光滑和非光滑系统的极限环分支问题.对于光滑系统,我们主要是研究了两类三次多项式近哈密顿系统的极限环分支问题,分别得出了在异宿环附近和双同宿环附近的极限环个数的新下界.对于非光滑系统,我们主要研究了三个由三次可逆等时中心系统组成的分段光滑系统的极限环分支问题和中心条件.全文共有四章,具体安排如下:第一章介绍了希尔伯特第十六问题以及弱化的希尔伯特第十六问题的研究进展以及最新成果,然后对研究弱
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本文研究了光滑和非光滑系统的极限环分支问题.对于光滑系统,我们主要是研究了两类三次多项式近哈密顿系统的极限环分支问题,分别得出了在异宿环附近和双同宿环附近的极限环个数的新下界.对于非光滑系统,我们主要研究了三个由三次可逆等时中心系统组成的分段光滑系统的极限环分支问题和中心条件.全文共有四章,具体安排如下:第一章介绍了希尔伯特第十六问题以及弱化的希尔伯特第十六问题的研究进展以及最新成果,然后对研究弱化的希尔伯特第十六问题的常用方法Melnikov函数方法以其高阶形式进行了详细介绍,最后介绍了本文的工作及创新点.第二章我们主要通过高阶Melnikov函数研究平面三次近哈密顿系统的异宿分支问题.在任意三次多项式的高阶扰动下,我们计算了Melnikov函数在异宿环附近的渐近展开式,并证明该系统在适当的扰动下可以在异宿环周围产生五个极限环.第三章研究了平面三次近哈密顿系统在双同宿环附近的极限环个数.我们研究了一个带有反正切函数的广义阿贝尔积分并且得到了双同宿环附近的高阶Melnikov函数展开式.通过使用相应的渐近展开式,我们证明在双同宿环的外侧可以产生五个极限环.第四章主要研究了三个由三次可逆等时中心系统组成的分段光滑系统.我们通过研究三个系统在任意过原点的切换线下的Lyapunov常数分别给出了三个系统的中心条件.并且进一步给出了这三个分段光滑系统可以产生的极限环的最大个数分别为3,4,4.
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