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周期性在自然界中是一个非常常见的现象.现实世界里有许多现象都在不同程度上表现出某种周期性,因此关于周期性的相关理论一直是动力系统理论研究中的核心课题之一.但并不是所有的自然现象都可以用单纯的周期性来描述,在周期解的基础上发展而来的拟周期解、概周期解、几乎自守解等概念很好地描述了一些在时间上近似周期的自然现象.事实上,有一些系统的模型不仅具有时间上的周期性,而且具有空间上的对称性.Y Li等人在研究连续动力系统周期解的过程中提出了仿射周期性的概念,并称具有仿射周期性的系统为仿射周期系统,证明了连续动力系统仿射周期解的存在性.离散动力系统的周期性问题同样是人们所广泛关注的课题,本篇博士论文主要讨论了离散动力系统的仿射周期轨道的存在性问题.在第一章中,我们给出了离散的（Q,N）-仿射周期系统,以及（Q,N）-仿射周期轨道等基本概念,这些基本概念在后面的研究中有着重要的作用.对于离散动力系统xn+1-xn=f（n,xn）,（0.0.1）其中n∈N,f:N×Rm→Rm关于xn连续.若有N∈N+,Q∈GL（m）,满足f（n+N,x）=Qf（n,Q-1x）（?）（n,x）∈N×Rm.则称系统（0.0.1）为（Q,N）-仿射周期系统.在第二章中,我们讨论了（Q,N）-仿射周期系统（0.0.1）的仿射周期轨道存在性,其中Q∈O（m）在2.1节中,借助于系统（0.0.1）的辅助系统xn+1-xn=λf（n,xn）,（0.0.2）其中n∈N,f:N×Rm→Rm关于xn连续,Q∈O（m）,λ∈[0,1]我们给出了系统（0.0.1）的仿射周期轨道的存在性定理,其具体内容如下：定理0.0.1设D （?） Rm是一个有界开集.若辅助系统（0.0.2）满足下面条件（H1）对每个λ∈[0,1],系统（0.0.2）的每个可能的仿射周期轨道{xnn∈N}满足xn≠（?）D,n∈N；（H2）当Ker（,一Q）≠{0}时,Brouwer度deg（g,D∩Ker（I-Q）,0）≠0,其中g（a）=1/N∑k=0N-1Pf（k,a）,P:Rm→Ker（I-Q）是正交射影.则系统（0.0.1）至少存在一个（Q,N）-仿射周期轨道.通过构造同伦映射,利用拓扑度理论,我们在2.1节对定理0.0.1进行了证明.这个定理提供了一种在理论上研究仿射周期轨道的存在性的拓扑方法.在实际应用中,为了能更加直接地判断仿射周期轨道的存在性,我们利用定理0.0.1的结果在2.2节中得到了两个基于Lyapunov函数方法的结论,具体内容如下：定理0.0.2考虑系统（0.0.1）.若存在函数Vi:Rm→R,i=0,1,2,…,l和σ>0,使得（H3）对于足够大的Mi,有|（▽Vi（xn）,f（n,xn））|≥σ>0 （?）|xn|≥Mi,i=0,1,2,…,l,n∈N.并且当Ker（I-Q）≠{0}时,对于任意的xn∈Ker（I-Q）,都有|(▽Vi（xn）,Pf（n,xn）>|≥σ>0 （?）xn∈Ker（I-Q）;|xn|≥Mi,i=0,1,2,…,l,其中n∈N,P:Rm→Ker（I-Q）是一个正交射影；（H4）若（▽Vi（xn）,f（n,xn））>0,则Hessian矩阵（（?）2V/（?）xi（?）xi）是半正定的,若<▽Vi（xn）,f（n,xn）><0,则Hessian矩阵（（?）2V/（?）xi（?）xj）是半负定的；（H5）当|xn|→∞时,（H6）当Ker（I-Q）≠{0}时,Brouwer度deg（▽V0,BM0∩Ker（I-Q）,0）≠0,其中Bρ={p∈Rm:|p|<ρ}.则系统（0.0.1）至少存在一个（Q,N）-仿射周期轨道.定理0.0.3考虑系统（0.0.1）.若存在C1函数V：D→R满足（H7）D（?）Rm是一个有界开集;（H8）存在一个正常数σ,使得<▽V（xn）,f（n,xn）>≥σ（?）（n,xn）∈N×（?）D;并且当Ker（I-Q）≠{0}时,<▽V（xn）,Pf（n,xn）>≥σ（?）（n,xn）∈N×（?）（D∩Ker（I-Q））;其中P:Rm→Ker（I-Q）是一个正交射影；（H9）当Ker（I-Q）≠{0}时,Brouwer度deg（▽V（xn）,D∩Ker（I-Q）,0）≠0.则系统（0.0.1）至少存在一个（Q,N）-仿射周期轨道{xn*:n∈N},且对于任意的n∈N,都有xn*∈D.上面两个结果分别从不同的方向给出了利用Lyapunov函数判断仿射周期轨道存在性的判别条件,我们在这一节中还给出了定理0.0.2的一个应用实例.不变域原理是研究微分方程周期解的重要方法,但用不变域原理研究拟周期解或概周期解的成果很少.在2.3节中,我们证明了一个离散仿射周期系统上的不变域原理.仿射周期轨道可以在某种程度上看作是拟周期的,因此我们的定理拓宽了不变域原理的应用范围.这一定理的具体内容如下：定理0.0.4设D（?）Rm为一个有界的单连通开集,D的边界（?）D分段光滑.对于系统（0.0.1）,记函数f的壳为H（f）.若下面条件成立（H10）对于任意的（n,p）∈N×（?）D以及h∈H（f）,h（n,p）都指向D的内部;（H11）令其中P:Rm→Ker（I-Q）是一个正交射影.对于所有的α∈（?）D,都有g（α）≠0.则系统（0.0.1）至少存在一个（Q,N）-仿射周期轨道{xn*:n∈N},且对于任意的n∈N,都有xn*∈D.在微分方程定性理论中,具有某种稳定性的系统是否蕴含着某种有界解是人们通常关心的问题,例如某系统具有稳定性,那么该系统是否存在周期解、拟周期解或概周期解?我们在第三章中证明了一个关于离散（Q,N）-仿射周期系统（0.0.1）的更加直观的,基于不动点理论的关于稳定仿射周期轨道存在性的结果,其中Q∈O（m）.定理0.0.5考虑系统（0.0.1）.设a：N→R+\{0},满足r=limk→∞akN<1.若下面条件成立（H12）系统（0.0.1）存在一个轨道{zn：n∈N];（H13）任何两个轨道{xn,x0:n∈N|,{yn,yn:n∈N},满足|xn,x0-yn,y0|≤ an|x0-y0|,n∈N.则系统（0.0.1）存在唯一渐近稳定的（Q,N）-仿射周期轨道.定理0.0.6考虑系统（0.0.1）.若系统（0.0.1）是渐近稳定的,则系统（0.0.1）有唯一渐近稳定的（Q,N）-仿射周期轨道.耗散系统作为一种重要的系统广泛地存在于自然界当中,对于耗散系统的周期性研究在理论和应用中有着重要的意义.在第四章中,我们主要研究了离散（Q,N）-仿射耗散系统的周期轨道的存在性,其中Q∈GL（m）主要结论如下：定理0.0.7若系统（0.0.1）是仿射耗散系统,则系统（0.0.1）存在（Q,N）-仿射周期轨道.