作为仿射Kac-Moody代数的自然推广，文[H-KT]引进了扩张仿射李代数(EALA’s)的概念。随后，在文[BGK]和[AABGP]中，作者对扩张仿射李代数进行了分类，发现它们不但涉及到多变量的罗朗多项式坐标代数，还涉及到特殊的交错代数、Jordan代数及量子环面代数。 以多变量的罗朗多项式环为坐标代数的扩张仿射李代数，亦称为toroidal李代数，对于其表示的研究有许多成果，如[MRY]，[EM]，[Bil]，[BB]等．量子环面上的扩张仿射李代数的表示的研究成果也有很多([BS]，[G3,4，5]，[BGT]，[GZ])。在[BGT]一文中，作者对量子环面上A型扩张仿射李代数的顶点算子的主表示和齐次表示给出了一种统一的boson场实现． 文[AABGP]在刻划扩张仿射李代数的扩张仿射根系时介绍了半格的概念，并由半格出发构造了一类以，Jordan环面为坐标代数的A<,1>型扩张仿射李代数，即TKK代数。 在文[T2]中，作者通过构造含有boson-fermion场的顶点算子及相应的Fock空间给出了baby-TKK代数的一类顶点表示。我们知道二维欧氏空间R<2>中，在同构意义下，只有一个格和一个非格半格，而格也是半格．本文第一章首先研究了R<2>中的格所确定的TKK代数的结构，接着利用[BGT]中关于量子环面李代数的顶点算子的构造方法，只需借助于群代数和对称代数即可给出这个TKK代数的boson场实现。进而，通过分解顶点算子并对§1.3中定义的Fock空间加以限制，我们得到了baby-TKK代数的两类boson-fermion场的表示，其中一种覆盖了[T2]中的结果。 自由场的构造方法首先是Wakimoto在研究仿射Kac-Moody代数sl<,2>的顶点表示时给出的([Wa2])。Feigin和Frenkel将这一方法进行推广，应用于仿射李代数sl<,n>的顶点表示([FF])。在[Gz]一文中，作者则利用自由场的思想，构造了扩张仿射李代数gl<,2>(C<,q>)的一类高权表示．本文第二章将利用Wakimoto的自由场方法，给出R<2>中的格所确定的Tits-Kantor-Koecher李代数的一个顶点表示。