【摘 要】
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数论,这个被誉为“数学之女王”的领域,一直深受人们的追捧.而关于各种数论函数性质的研究一直是数论研究领域的一个重要课题.1993年,在《Only Problem, Not Solutions!》一书中,一系列新的数论函数、序列及猜想被著名的美籍罗马尼亚数论专家Florentin Smarandache教授首次提了出来,同时他建议人们对相关问题进行研究,这为数论开拓了一个新的研究方向.近年来,国内外
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数论,这个被誉为“数学之女王”的领域,一直深受人们的追捧.而关于各种数论函数性质的研究一直是数论研究领域的一个重要课题.1993年,在《Only Problem, Not Solutions!》一书中,一系列新的数论函数、序列及猜想被著名的美籍罗马尼亚数论专家Florentin Smarandache教授首次提了出来,同时他建议人们对相关问题进行研究,这为数论开拓了一个新的研究方向.近年来,国内外许多数论专家和学者对这一课题进行了深入的研究和探索,并取得了很多丰硕的成果,同时又涌现出一系列新的与Smarandache函数相关的问题.本文基于对上述Smarandache函数问题的兴趣,从素数这一基本“材料”出发,运用初等及解析的方法,对Smarandache函数的算数性质进行研究,完美解决了一些包含Smarandache函数的特殊方程的可解性问题,同时还给出了一个关于Smarandache函数的均值估计.具体来说,包括以下三个方面的内容：1.运用初等方法,对包含Smarandache对偶函数S*（n）和Smarandache ceil函数Sk（n）的方程的可解性进行了研究,证明了该方程具有无穷多组正整数解,并进一步给出了其解的具体形式.2.将一个新的Smarandache函数U（n）与其对偶函数V（n）结合起来,运用解析方法研究了它们的混合均值问题,给出了以下这个有趣的均方差公式：其中ζ（n）为Riemann zeta-函数,ci（i=2,3,…,k）是可计算的常数.3.探索了Smarandache双阶乘函数Sdf（n）的算数性质,构建了三个与Smarandache双阶乘函数相关的方程：运用分类讨论法并结合同余等思想,彻底解决了这三个方程的可解性问题,其中φ（n）表示欧拉函数,Z（n）为伪Smarandache函数.
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