平面内点P(x0,y0)到直线l ∶Ax+By+C=0(A,B不全为0)的距离为d=|Ax0+By0+C|A2+B2,这个公式称为平面内点到直线的距离公式。点到直线距离公式是解析几何中的一个非常重要的的公式,应用它可使很多求解面积问题得以简化,也正因为如此,大多数老师和学生更多地重视它的应用,而对于公式本身的证明却不重视。笔者以为:研究公式的推导比运用这个公式来解决一些问题对思维的发展更具有价值。
　　平面内点到直线距离公式的推导,在旧人教版必修本教材和人教版新教材中给出了两种不同的推导方法,这两种方法虽有不同之处,但都采用了间接法,即构造以垂线段为边的直角三角形,通过解三角形来求垂线段两个端点间的距离。教材中也认为这种做法“思路自然,但运算较繁”,因为求出垂足的坐标计算量大,所以教材才避开了这种证法。笔者认为:用这种方法求线段的长,体现了解析几何的本质,即用代数的方法来研究几何问题。
　　长期以来,人们一直在回避这种方法,原因在于没有更好的办法求得垂足的坐标。其实完全没有必要求得垂足的坐标,我们的本意只是要求出两点的距离,下面给出笔者的一种做法:
　　解:过点P(x0,y0)向直线l作垂线,垂足为Q,设点Q的坐标为(x1,y1),
　　已知:直线PQ的方程为B(x - x0) - A( y - y0)=0,
　　点Q在直线l上,所以有
　　Ax1+By1+c - 0,(1)
　　即
　　A(x1-x0)+B(y1-y0)=-(Ax0+By0+C),(2)
　　又因为点Q在直线PQ上,所以
　　B(x1-x0)-A(y1-y0)=0,(3)
　　(2)(3)两式平方相加可得
　　(A2+B2)[(x1-x0)2+(y1-y0)2]=(Ax0+By0+C)2,
　　所以,点P到直线l的距离
　　d=(x1-x0)2+(y1-y0)2=Ax0+By0+CA2+B2.
　　这种方法运用整体思想,并不需要引太多的辅助线,也不需要借助于平面几何和三角函数的知识,同时也避开了分类讨论,从而大大减少了运算量,体现了解析法解题的巨大优越性,反映了解析几何的本质。笔者认为,大家不妨在教学中首先引导学生用此法得出平面内点到直线的距离公式,然后再给出教材中的方法,并加以对比,这样的处理对激发学生的兴趣,培养学生的数学素养是大有裨益的。
　　当然,公式的推导方法除课本所用方法之外还有很多,下面的证法都具有一定的研究价值。
　　1.平面向量法
　　方法一
　　证明:设P(x,y)是直线l ∶Ax+By+C=0(A,B不全为0)上的任一点,P0(x0,y0)到直线l ∶Ax+By+C=0的距离d,就是向量PP0→在直线l的法向量方向上的投影的绝对值。设直线l的一个法向量为n→ = (A,B),取n→的单位向量n0→=n→|n→|=(A,B)A2+B2,由平面向量数量积的定义,向量PP0→在n→ 方向上的投影的等于PP0→•n0→,因此,d=|PP0→•n0→|=(Ax0+By0+C)A2+B2。
　　这种求距离的方法可称之为“射影法”。其推导思路简单明了、运算量也较小。
　　方法二
　　证明:由直线l的方程:Ax+By+C=0,(A,B不能同时为0),可得与直线l垂直的直线的方向量为n→=(A,B),设过点P(x0,y0)作直线l的垂线,垂足为P′(x′,y′),则向量PP′→=λn→,即(x′-x0,y′-y0)=λ(A,B),所以x′=x0+λA,y′=y0+λB且|PP′→|=(x - x0)2+(y-y0)2=|λ|A2+B2
　　又因为点P′(x′,y′)在直线l上,所以就有:
　　Ax′+By′+C=0,即A(x0+λA)+B(y0+λB)+C=0,
　　∴ λ(A2+B2)=-(Ax0+By0+C),又因为A,B不同时为0,
　　∴ λ = -(Ax0+By0+C)A2+B2
　　∴ |PP′→|=(x - x0)+(y-y0)2=|λ|A2+B2=|-(Ax0+By0+C)A2+B2|A2+B2
　　即:d=|PP′→|=(Ax0+By0+C)A2+B2.
　　这样处理,既避开了分类讨论,又体现了平面向量的工具性。
　　2.柯西不等式法
　　证明:设M(x,y)为直线l∶Ax+By+C=0上任意一点,点P(x0,y0)到直线l的距离为d,则:
　　|PM|=(x-x0)2+(y-y0)2
　　∴ |PM|2=(Ax-Ax0)2A2+(By-By0)2B2
　　故(A2+B2)|PM|2=(A2+B2)[(Ax-Ax0)2A2+(By-By0)2B2]≥(Ax-Ax0+By-By0)2=(-Ax0-By0-C)2
　　∴ d=|PM|min=|Ax0+By0+C|A2+B2。
　　3.参数方程法
　　方法一:利用直线的参数方程证明。
　　证明:设直线l∶Ax+By+C=0(A,B不全为0),点P(x0,y0)到直线l的距离为d。
　　当A•B=0时易验证公式成立,下证A•B≠0时的情形:
　　(1)B>0时,过点P作直线l的垂线,垂足为H,则直线PH的标准参数方程为:
　　x=x0+t•AA2+B2
　　y=y0+t•BA2+B2(t为参数)
　　将直线PH的参数方程代入直线l的方程得:
　　A•(x0+t•AA2+B2)+B•(y0+t•BA2+B2)+C=0,解之得点H对应的参数t=-Ax0+By0+CA2+B2,∴ d=|PH|=|Ax0+By0+C|A2+B2
　　(2)当B<0时,直线PH的标准参数方程为:
　　x=x0+t•AA2+B2
　　y=y0+t•BA2+B2
　　,(由(1)类似可得)
　　∴ d=|PH|=|Ax0+By0+C|A2+B2
　　方法二:利用圆的参数方程证明。
　　证明:设以点P(x0,y0)为圆心的圆的半径为r,且圆经过直线l∶Ax+By+C=0上点M(x,y),令x=x0+rcosθ,y=y0+rsinθ(θ为参数),则A(x0+rcosθ)+B(y0+rsinθ)+C=0.
　　故|Ax0+By0+C|=r|Acosθ+Bsinθ|≤rA2+B2,
　　∴r≥|Ax0+By0+C|A2+B2.
　　故d=rmin=|Ax0+By0+C|A2+B2。
　　以上几种推导方法是笔者在二十多年的教学中的一点体会心得,仅供各位同行在教学中参考。不对之处,还请各位同行指正。