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以不完全归纳推理为主要形式得出的猜想是一种合情推理，是我们发现新事物、探究新策略的有效途径，但这种推理是一种似真推理。为了提高猜想的合理性，我们在应用这种不完全归纳推理时，应当注意尽量多地考察被归纳的对象，被考察的对象越多、范围越广，结论的可靠性就越大。如果有可能，我们还可以采用其他论证手段加以证明。对此，近期再次执教“分数的基本性质”一课，感悟特别深刻，现整理如下与大家分享。
教学案例：
一、巧设习题，复习铺垫
12÷3=（ ）÷9 60÷15=12÷（ ）
192÷16=（ ）÷4 （ ）÷23=276÷46
二、故事引入，设疑激趣
师：同学们，今天老师给大家讲一个唐僧师徒西天取经路上的小故事。“一天，唐僧拿出三个大小一样的饼分给徒弟们吃，他先把第一个饼平均分成了2块，分给猪八戒1块;把第二个饼平均分成了4块，分给孙悟空2块;把第三个饼平均分成了8块，分给沙和尚4块。猪八戒一看，不高兴了，说唐僧师傅偏心，他得到的饼最少。”请问是这样吗？猪八戒、孙悟空、沙僧分别得到了一个饼的几分之几？
生：猪八戒、孙悟空、沙僧分别得到了一个饼的 、 和 。
师：唐僧的三个徒弟谁分到的饼最多呢？
（学生的答案不一）
三、动手操作，提出猜想
师：唐僧的三个徒弟谁分到的饼最多？让我们一起动手来分分看。
1.折纸感知
师：我们每位同学手上都有三张大小相同的圆片，我们用圆片纸来代替饼折一折，看看唐僧是怎样分饼的。
出示操作要求：（1）请用折纸的方法分别表示出唐僧三次是怎样分饼的;（2）请在折好的圆片纸上分别用阴影部分表示出唐僧分给猪八戒、孙悟空、沙僧的饼。
（通过折纸、涂色等活动，引导学生初步感知 、 和 这三个分数是相等的，即 = = ）
2.观察发现
师：请同学们观察一下这三个分数，分子和分母都不相同，它们之间有着怎样的关系呢？请与小组里的同学讨论。
多媒体出示讨论要求：（1）从左往右看，分子和分母是按照怎样的规律变化的？（2）从右往左看，分子和分母又是按照怎样的规律变化的？
3.大胆猜想
师：我们发现分数的分子、分母同时乘2或乘4，分数的大小都不变;反过来，分数的分子、分母同时除以2或除以4，分数的大小也不变。那么，这种规律在其他分数中也存在吗？
生：存在。
师：这只是同学们的猜想，如果要确定我们的猜想是否正确，我们还需要进行验证！
四、多维验证，丰富猜想
1.数图印证，直观为凭
师（多媒体出示下图）：请用画图的方法表示出相等的分数。
师：通过画图、写分数，你又发现了什么？
生： = ， = 。
师：谁能告诉大家，在这两个等式中，从左往右，分子和分母是怎样变化的？反过来，从右往左看呢？
2.举例扩充，计算验证
师：还能再举出一些这样的例子吗？
生： = 、 = ……
师：你是怎样验证它们是相等的？
生1：我是通过画图来验证的。
生2：我是用计算器把分数化成小数来验证的。
……
五、初步归纳，发现规律
师：观察刚才同学们所列举的分数，你能不能用自己的话说一说，从这些例子中发现的变化规律？
学生归纳总结出结论：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数，分数的大小不变。
（这里师引导学生注意加入“0除外”）
【说明：教学至此，有不少教师可能就此罢手，进入新知巩固阶段。但我认为，教学到这里还不足以说明问题，为此我再次引入商不变的性质，让学生进行验证。】
六、演绎推理，深层验证
师：同学们，我们课前复习了商不变的性质，上节课也刚刚学习了分数与除法的关系，你能不能利用这两个知识对我们刚刚发现的这个规律进行再次验证呢？
（给学生充分交流、讨论的时间）
生3：因为分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号，所以我们可以把分数看成除法。如 和 ，就是2÷3和6÷9，根据商不变的性质，可以知道2÷3=6÷9，所以 = 。
师：现在我们可以肯定刚才的推理是正确的，即“分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变”，这就是分数的基本性质。
……
反思：
以不完全归纳推理为主要形式得出的猜想是科学探究的催化剂，这样的猜想往往意味着创新和发现。法国数学家拉普拉斯说过：“甚至在数学里发现真理的主要工具也是归纳和类比。”数学家高斯也说过：“一旦抓住真理，补充证明仅仅是时间问题。”由此，可以知道归纳推理对于发现真理的重要性。
但是，在实际教学中，教师往往忽视这种归纳推理的不足，只是简单地列举几个例子后，就引导学生草草得出结论，忽视了让学生经历这种科学探究的过程，而这种过程和体验又恰恰是学生缺乏的一种科学的、严谨的探究精神。对此，教师要紧紧抓住机会，让学生的验证和猜想经历多层次、多角度的探究。更重要的是，教师应利用分数与除法的关系以及商不变的性质引导学生再次验证，让他们再次对刚才由不完全归纳推理总结出的分数的基本性质进行有效的逻辑论证，从而提升验证的层次，使学生体会到演绎推理是数学中更为严密的论证方法。这样的推理验证，能科学、合理、有力地验证猜想，丰富推理的过程，使学生完成认知建构。
（责编 杜 华）
教学案例：
一、巧设习题，复习铺垫
12÷3=（ ）÷9 60÷15=12÷（ ）
192÷16=（ ）÷4 （ ）÷23=276÷46
二、故事引入，设疑激趣
师：同学们，今天老师给大家讲一个唐僧师徒西天取经路上的小故事。“一天，唐僧拿出三个大小一样的饼分给徒弟们吃，他先把第一个饼平均分成了2块，分给猪八戒1块;把第二个饼平均分成了4块，分给孙悟空2块;把第三个饼平均分成了8块，分给沙和尚4块。猪八戒一看，不高兴了，说唐僧师傅偏心，他得到的饼最少。”请问是这样吗？猪八戒、孙悟空、沙僧分别得到了一个饼的几分之几？
生：猪八戒、孙悟空、沙僧分别得到了一个饼的 、 和 。
师：唐僧的三个徒弟谁分到的饼最多呢？
（学生的答案不一）
三、动手操作，提出猜想
师：唐僧的三个徒弟谁分到的饼最多？让我们一起动手来分分看。
1.折纸感知
师：我们每位同学手上都有三张大小相同的圆片，我们用圆片纸来代替饼折一折，看看唐僧是怎样分饼的。
出示操作要求：（1）请用折纸的方法分别表示出唐僧三次是怎样分饼的;（2）请在折好的圆片纸上分别用阴影部分表示出唐僧分给猪八戒、孙悟空、沙僧的饼。
（通过折纸、涂色等活动，引导学生初步感知 、 和 这三个分数是相等的，即 = = ）
2.观察发现
师：请同学们观察一下这三个分数，分子和分母都不相同，它们之间有着怎样的关系呢？请与小组里的同学讨论。
多媒体出示讨论要求：（1）从左往右看，分子和分母是按照怎样的规律变化的？（2）从右往左看，分子和分母又是按照怎样的规律变化的？
3.大胆猜想
师：我们发现分数的分子、分母同时乘2或乘4，分数的大小都不变;反过来，分数的分子、分母同时除以2或除以4，分数的大小也不变。那么，这种规律在其他分数中也存在吗？
生：存在。
师：这只是同学们的猜想，如果要确定我们的猜想是否正确，我们还需要进行验证！
四、多维验证，丰富猜想
1.数图印证，直观为凭
师（多媒体出示下图）：请用画图的方法表示出相等的分数。
师：通过画图、写分数，你又发现了什么？
生： = ， = 。
师：谁能告诉大家，在这两个等式中，从左往右，分子和分母是怎样变化的？反过来，从右往左看呢？
2.举例扩充，计算验证
师：还能再举出一些这样的例子吗？
生： = 、 = ……
师：你是怎样验证它们是相等的？
生1：我是通过画图来验证的。
生2：我是用计算器把分数化成小数来验证的。
……
五、初步归纳，发现规律
师：观察刚才同学们所列举的分数，你能不能用自己的话说一说，从这些例子中发现的变化规律？
学生归纳总结出结论：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数，分数的大小不变。
（这里师引导学生注意加入“0除外”）
【说明：教学至此，有不少教师可能就此罢手，进入新知巩固阶段。但我认为，教学到这里还不足以说明问题，为此我再次引入商不变的性质，让学生进行验证。】
六、演绎推理，深层验证
师：同学们，我们课前复习了商不变的性质，上节课也刚刚学习了分数与除法的关系，你能不能利用这两个知识对我们刚刚发现的这个规律进行再次验证呢？
（给学生充分交流、讨论的时间）
生3：因为分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号，所以我们可以把分数看成除法。如 和 ，就是2÷3和6÷9，根据商不变的性质，可以知道2÷3=6÷9，所以 = 。
师：现在我们可以肯定刚才的推理是正确的，即“分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变”，这就是分数的基本性质。
……
反思：
以不完全归纳推理为主要形式得出的猜想是科学探究的催化剂，这样的猜想往往意味着创新和发现。法国数学家拉普拉斯说过：“甚至在数学里发现真理的主要工具也是归纳和类比。”数学家高斯也说过：“一旦抓住真理，补充证明仅仅是时间问题。”由此，可以知道归纳推理对于发现真理的重要性。
但是，在实际教学中，教师往往忽视这种归纳推理的不足，只是简单地列举几个例子后，就引导学生草草得出结论，忽视了让学生经历这种科学探究的过程，而这种过程和体验又恰恰是学生缺乏的一种科学的、严谨的探究精神。对此，教师要紧紧抓住机会，让学生的验证和猜想经历多层次、多角度的探究。更重要的是，教师应利用分数与除法的关系以及商不变的性质引导学生再次验证，让他们再次对刚才由不完全归纳推理总结出的分数的基本性质进行有效的逻辑论证，从而提升验证的层次，使学生体会到演绎推理是数学中更为严密的论证方法。这样的推理验证，能科学、合理、有力地验证猜想，丰富推理的过程，使学生完成认知建构。
（责编 杜 华）