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[摘 要]众所周知，初中数学教学发挥着承上启下的作用，既要完成对小学数学的总结，又要为高中数学学习奠定基础，对学生而言，具有至关重要的作用.因此，如何把握初中数学教学中的关键点是有效提升数学教学质量的关键所在.文章结合实际教学案例谈谈如何在初中数学教学中实现以“点”促教.
[关键词]关键点；以“点”促教；初中数学
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）20-0027-02
目前，初中数学教学的现状不容乐观，一方面，初中数学教学质量相对低下，学生数学能力的培养效率处于低迷状态；另一方面，学生的数学成绩两极分化现象严重，极大地影响了数学教学的进一步发展.为此，教师应当把握好初中数学教学的广度和深度，找准数学教学的关键点，从而提高初中数学教学质量.
一、把握学生学情，挖掘数学知识生长点
学生的数学基础和数学水平参差不齐，这是不争的事实.在初中数学教学中，教师应当充分了解学生的学情，从学生的认知水平和学习情况出发，挖掘学生的数学知识生长点，从而高效开展数学新知教学，促进学生数学能力的提升.
例如，在教学“因式分解”的相关知识点的过程中，教师在黑板上写下了计算题“35×2.8 35×2.1 35×3.7=”，然后与学生进行如下互动.
师：“这是一道非常简单的数学计算题，你们算一下这道题的答案是多少？”
话语刚落，学生们便开始计算.教师发现不同的学生计算这道题的思路不尽相同，比如生1因为事先预习过因式分解，所以便采用因式分解的方法进行计算，生2则采用常规的计算方法，先乘，再相加.待学生都计算完之后，再让他们生说一说自己的计算思路.
生1：“我采用了因式分解的方法进行计算，因为我发现三个乘法式子中都有相同的公因式35，所以先提取公因式35，然后计算“2.8 2.1 3.7”的值，最后再将该值与35相乘得到最终的答案.”
生2：“我是先计算每一个乘法的值，再将每一个对应的结果相加，得到最终的值.我觉得生1的计算方法违背了四则运算的顺序，应该是不正确的.”
生3：“我的思路跟生1的思路相同，我觉得因式分解可以更快地计算出答案，是正确的，因为a（b c d）=ab ac ad，这个等式反过来同样成立.”
师：“非常棒，你们思考问题的角度不同，所以解题的思路也不相同，因式分解是我们接下来要学习的新知识点，正如生3分析的那样，因式分解其实就来源于乘法分配律……”
在上述案例中，对同一个问题，学生因各自的学情和学习基础不同存在分歧，但是彼此之间互相交流探讨，就能挖掘出数学新知在旧知上的生长点，这对学生学习新知有极大的促进作用.
二、立足数学思想，提炼数学知识渗透点
数学思想是数学的灵魂所在.数学思想不仅能提高学生学习数学知识的效率，还能够锻炼和提升学生的迁移学习能力.因此，在采取以“点”促教的教学方法教学初中数学时，教师应当立足数学思想和数学方法，提炼数学知识的渗透点，教会学生从数学思想的角度学习数学知识.
以“分类讨论思想”的教学为例，相应的教学片段如下.
课堂例题：已知一个关于x的函数为y=ax2 x 1，其中a为常数，倘若该函数的图像会与x轴相交，求a的值.
显然，这个例题并没有明确指出函数图像与x轴的交点坐标，所以该函数并没有确定下来，a的值可能存在多种情况，对a值的情况进行分类讨论就是分类讨论思想的渗透点所在.鉴于此，教师便组织学生通过分组的方式，对该题进行探讨.学生在探讨的过程中出现了分歧，有的小组经过探讨得到a=0时，函数y=ax2 x 1与x轴存在交点（-1，0），所以这一小组的学生认为a=0.有的小组根据函数与x轴存在交点的条件得出了方程 ax2 x 1=0有解，所以得出了a=1/4的结果.针对这种情况，教师小结道：“经过刚刚的小组探讨，你们都得到了关于a值的答案，很显然，你们的答案各不相同，有的小组得到了a=0的答案，也有的小组得到了a=1/4的答案，那到底哪组学生得到的答案是正确的呢？现在让我们一起通过画图验证一下吧.”在教师的引导下，学生分别画出了a=0和a=1/4时的函数图像，结果发现都与x轴相交，只是交点坐标不相同，由于题目中x轴坐标也并未确定，所以a值的两种答案都是正确的，即a=0或者a=1/4.
在這个案例中，通过一个渗透了分类讨论思想的数学例题，引导学生开展课堂探讨交流，从而拓展学生的数学思维，进一步提升学生的数学能力.
三、丰富学习经验，定位数学知识探究点
学习经验往往产生于学生的学习和探究知识的过程中，其中包括学生对知识点的理解与感知以及学生在学习过程中获得的知识.因此，在实际教学中，教师可以从学生学习经验出发，引导学生利用自己的学习经验来确定数学知识中的探究点，从而促进学生独立思考.
以“代入消元法解二元一次方程组”这一知识点的教学为例，相应的教学片段如下.
师：“同学们，结合已经学习过的知识解这个二元一次方程组：x-y=3①，3x-8y=14②.”
大约十分钟之后，学生们得出了相应的答案，上台演示的两个学生解题步骤和答案如下.
生1：“根据式①可知，x=3 y，将其代入到②式中可以得到式子3（3 y）-8y=14，所以y=-1，x=3 y=2.”
生2：“根据式①可知，y=x-3，将其代入到②式中可以得到式子3x-8（x-3）=14，所以x=2，y=x-3=-1.”
师：“我们来看一下这两个同学的解题步骤，你们有什么发现？”
生3：“都是用代入法求解方程组的.”
师：“没错，总结得非常正确，但是这两个同学所使用的代入法都是将①式变形后代入到②式中，对未知量进行求解，你们有和这两个同学都不相同的思路和想法吗？” 生4：“我的思路是先对②式进行变形：3（x-y）-5y=14，然后再将①式x-y当成一个已知量代入到变形后的②式中，得到y=-1，再将y的值代入到方程组中任意一个方程中得到x=2.”
师：“非常棒，你的这种方法值得采纳，属于整体代入消元的思路.经过这道例题的练习，相信大家对代入消元法一定会有更深层次的理解，同时也能够拓展自己的思路，现在我们再来看看其他解二元一次方程组的方法……”
在这个案例中，教师借助一个二元一次方程组的例题引发学生对代入消元法的探究，一方面，學生在彼此探讨交流的过程中能够发散自己的思维，丰富自身的学习经验；另一方面，教师适时引出问题的探究点并让学生就此进行探究和交流，能够有效锻炼学生的数学探究能力.
四、针对难点知识，分析数学知识衔接点
初中数学教材中每个章节的知识看似独立，实则由各个难点知识衔接而成.因此，在实际教学中，教师应引导学生分析研究教材中的难点知识，从而更好地把握数学知识的衔接点，进而促进学生从整体上理解把握好数学知识.
例如，在教学《一元二次方程》时，由于考虑到配方法是本章节教学难点，并且该知识点掌握与否将在一定程度上影响学生对公式法的理解和推导，所以教师可针对配方法详细讲解一元二次方程的解法，部分教学片段如下.
师：“同学们，我们已经学过如何使用直接开平方法来解一元二次方程，现在再出几个解方程的题目，你们来做一下.”
说完便在黑板上写下了几个一元二次方程：（1）[x2=25] ，（2）[x2 12x-15=0]，（3）[（x 6）2=64].学生很快便得出了（1）和（3）题的答案，但是却不知道如何解答（2）题.于是教师可自然而然地引出解一元二次方程的另一种方法——“配方法”，并带领学生分析和理解“配方法”.首先引导学生回顾完全平方公式：“同学们，在学习配方法之前，我们先回顾一下完全平方公式，谁能够在黑板上写下完全平方公式的通式？”
学生的答案：[（a b）2=a2 2ab b2].
待学生写完，再问学生：“（2）题中的一次项12x与完全平方公式中的2ab有什么联系吗？”
学生恍然大悟：“[12x=2×x×6]，所以[x2 12x-15=（x 6）2-51=0].”
师：“没错，这就是解一元二次方程的另外一种方法——配方法.现在我们来分析一下配方法的几个关键步骤，首先是将一般方程转化成一个完全平方式子与常数项的组合，然后再将常数项移项，最后再运用直接开平方法对一元二次方程进行求解.现在我们运用配方法解几个一元二次方程……”
在上述案例中，通过设置难点，引发学生对数学问题的探究，找准一元二次方程解法的衔接点，从而有效帮助学生学习配方法，并为之后的学习奠定基础.
五、总结数学规律，寻求数学知识的突破点
众所周知，囫囵吞枣是初中生学习知识的通病.在初中数学教学中，为了有效提升学生学习数学知识的效率，教师可以在教学过程中鼓励学生通过总结数学规律来理解和记忆知识点，从而找到数学知识的突破点，促进学生对数学知识点的理解与记忆.
例如，教师可在教学“圆”的相关知识点时给学生提出几个思考问题，并组织学生通过小组合作，共同交流探讨问题的答案，从而总结与圆相关的数学规律，并引导学生思考如下问题：
（1）两个圆之间存在多少种可能的位置关系？影响位置关系的因素是什么？
（2）点和圆，直线和圆存在多少种可能的位置关系？影响位置关系的因素是什么？
经过小组探讨交流之后，学生的答案逐渐明朗，其中一个小组的答案如下：
（1）通过观察和动手操作发现两个圆之间可能存在相切、相交和相离三种位置关系.影响圆与圆之间位置关系的因素有两个：圆心距和两个圆的半径.
（2）根据点与圆心的距离大小可以发现点和圆存在三种不同的位置关系：点在圆上、点在圆外和点在圆内；根据直线与圆心的垂直距离大小可以发现直线和圆存在三种不同的位置关系：相离、相切和相交.影响位置关系的因素是圆心到点（直线）的垂直距离和圆半径的大小.
看完每个小组学生的答案之后，我便问学生：“同学们，你们能不能概括一下点、直线和圆之间的位置关系呢？”
生：“均存在相切、相交和相离三种位置关系.”
师：“可是点与圆的位置关系是在圆上、在圆内和在圆外呀？”
生：“点在圆上可以看成是相切和相交的位置关系，而点在圆内和圆外则可以看成是相离的关系.”
师：“非常棒，现在我们来做几个练习题，巩固一下所学的知识点吧……”
在上述案例中，教师为学生设计了两个与教材知识相关的思考题，并让学生分组探讨得到相应的答案，然后再与学生互动，引导学生总结其中的一些数学规律，从而帮助学生找到点、直线与圆位置关系的突破点，促进学生对这一知识点的理解与记忆.
总而言之，关键点的研究对数学教学极为重要.在初中数学教学中，教师可以从数学知识的生长点、渗透点、探究点、衔接点和突破点等方面采取相应的教学措施，实现以“点”促教，从而锻炼学生的数学思维并提升学生的数学能力.
[ 参 考 文 献 ]
[1] 宋淑英.生长点·渗透点·探究点：初中数学有效教学中几个关键点的把握[J].考试周刊，2018（33）：67-68.
[2] 梁伟豪.分析教材，运筹帷幄：试论初中数学教材分析的几个关键点[J].课程教育研究，2012（5）：71.
（责任编辑 易志毅）
[关键词]关键点；以“点”促教；初中数学
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）20-0027-02
目前，初中数学教学的现状不容乐观，一方面，初中数学教学质量相对低下，学生数学能力的培养效率处于低迷状态；另一方面，学生的数学成绩两极分化现象严重，极大地影响了数学教学的进一步发展.为此，教师应当把握好初中数学教学的广度和深度，找准数学教学的关键点，从而提高初中数学教学质量.
一、把握学生学情，挖掘数学知识生长点
学生的数学基础和数学水平参差不齐，这是不争的事实.在初中数学教学中，教师应当充分了解学生的学情，从学生的认知水平和学习情况出发，挖掘学生的数学知识生长点，从而高效开展数学新知教学，促进学生数学能力的提升.
例如，在教学“因式分解”的相关知识点的过程中，教师在黑板上写下了计算题“35×2.8 35×2.1 35×3.7=”，然后与学生进行如下互动.
师：“这是一道非常简单的数学计算题，你们算一下这道题的答案是多少？”
话语刚落，学生们便开始计算.教师发现不同的学生计算这道题的思路不尽相同，比如生1因为事先预习过因式分解，所以便采用因式分解的方法进行计算，生2则采用常规的计算方法，先乘，再相加.待学生都计算完之后，再让他们生说一说自己的计算思路.
生1：“我采用了因式分解的方法进行计算，因为我发现三个乘法式子中都有相同的公因式35，所以先提取公因式35，然后计算“2.8 2.1 3.7”的值，最后再将该值与35相乘得到最终的答案.”
生2：“我是先计算每一个乘法的值，再将每一个对应的结果相加，得到最终的值.我觉得生1的计算方法违背了四则运算的顺序，应该是不正确的.”
生3：“我的思路跟生1的思路相同，我觉得因式分解可以更快地计算出答案，是正确的，因为a（b c d）=ab ac ad，这个等式反过来同样成立.”
师：“非常棒，你们思考问题的角度不同，所以解题的思路也不相同，因式分解是我们接下来要学习的新知识点，正如生3分析的那样，因式分解其实就来源于乘法分配律……”
在上述案例中，对同一个问题，学生因各自的学情和学习基础不同存在分歧，但是彼此之间互相交流探讨，就能挖掘出数学新知在旧知上的生长点，这对学生学习新知有极大的促进作用.
二、立足数学思想，提炼数学知识渗透点
数学思想是数学的灵魂所在.数学思想不仅能提高学生学习数学知识的效率，还能够锻炼和提升学生的迁移学习能力.因此，在采取以“点”促教的教学方法教学初中数学时，教师应当立足数学思想和数学方法，提炼数学知识的渗透点，教会学生从数学思想的角度学习数学知识.
以“分类讨论思想”的教学为例，相应的教学片段如下.
课堂例题：已知一个关于x的函数为y=ax2 x 1，其中a为常数，倘若该函数的图像会与x轴相交，求a的值.
显然，这个例题并没有明确指出函数图像与x轴的交点坐标，所以该函数并没有确定下来，a的值可能存在多种情况，对a值的情况进行分类讨论就是分类讨论思想的渗透点所在.鉴于此，教师便组织学生通过分组的方式，对该题进行探讨.学生在探讨的过程中出现了分歧，有的小组经过探讨得到a=0时，函数y=ax2 x 1与x轴存在交点（-1，0），所以这一小组的学生认为a=0.有的小组根据函数与x轴存在交点的条件得出了方程 ax2 x 1=0有解，所以得出了a=1/4的结果.针对这种情况，教师小结道：“经过刚刚的小组探讨，你们都得到了关于a值的答案，很显然，你们的答案各不相同，有的小组得到了a=0的答案，也有的小组得到了a=1/4的答案，那到底哪组学生得到的答案是正确的呢？现在让我们一起通过画图验证一下吧.”在教师的引导下，学生分别画出了a=0和a=1/4时的函数图像，结果发现都与x轴相交，只是交点坐标不相同，由于题目中x轴坐标也并未确定，所以a值的两种答案都是正确的，即a=0或者a=1/4.
在這个案例中，通过一个渗透了分类讨论思想的数学例题，引导学生开展课堂探讨交流，从而拓展学生的数学思维，进一步提升学生的数学能力.
三、丰富学习经验，定位数学知识探究点
学习经验往往产生于学生的学习和探究知识的过程中，其中包括学生对知识点的理解与感知以及学生在学习过程中获得的知识.因此，在实际教学中，教师可以从学生学习经验出发，引导学生利用自己的学习经验来确定数学知识中的探究点，从而促进学生独立思考.
以“代入消元法解二元一次方程组”这一知识点的教学为例，相应的教学片段如下.
师：“同学们，结合已经学习过的知识解这个二元一次方程组：x-y=3①，3x-8y=14②.”
大约十分钟之后，学生们得出了相应的答案，上台演示的两个学生解题步骤和答案如下.
生1：“根据式①可知，x=3 y，将其代入到②式中可以得到式子3（3 y）-8y=14，所以y=-1，x=3 y=2.”
生2：“根据式①可知，y=x-3，将其代入到②式中可以得到式子3x-8（x-3）=14，所以x=2，y=x-3=-1.”
师：“我们来看一下这两个同学的解题步骤，你们有什么发现？”
生3：“都是用代入法求解方程组的.”
师：“没错，总结得非常正确，但是这两个同学所使用的代入法都是将①式变形后代入到②式中，对未知量进行求解，你们有和这两个同学都不相同的思路和想法吗？” 生4：“我的思路是先对②式进行变形：3（x-y）-5y=14，然后再将①式x-y当成一个已知量代入到变形后的②式中，得到y=-1，再将y的值代入到方程组中任意一个方程中得到x=2.”
师：“非常棒，你的这种方法值得采纳，属于整体代入消元的思路.经过这道例题的练习，相信大家对代入消元法一定会有更深层次的理解，同时也能够拓展自己的思路，现在我们再来看看其他解二元一次方程组的方法……”
在这个案例中，教师借助一个二元一次方程组的例题引发学生对代入消元法的探究，一方面，學生在彼此探讨交流的过程中能够发散自己的思维，丰富自身的学习经验；另一方面，教师适时引出问题的探究点并让学生就此进行探究和交流，能够有效锻炼学生的数学探究能力.
四、针对难点知识，分析数学知识衔接点
初中数学教材中每个章节的知识看似独立，实则由各个难点知识衔接而成.因此，在实际教学中，教师应引导学生分析研究教材中的难点知识，从而更好地把握数学知识的衔接点，进而促进学生从整体上理解把握好数学知识.
例如，在教学《一元二次方程》时，由于考虑到配方法是本章节教学难点，并且该知识点掌握与否将在一定程度上影响学生对公式法的理解和推导，所以教师可针对配方法详细讲解一元二次方程的解法，部分教学片段如下.
师：“同学们，我们已经学过如何使用直接开平方法来解一元二次方程，现在再出几个解方程的题目，你们来做一下.”
说完便在黑板上写下了几个一元二次方程：（1）[x2=25] ，（2）[x2 12x-15=0]，（3）[（x 6）2=64].学生很快便得出了（1）和（3）题的答案，但是却不知道如何解答（2）题.于是教师可自然而然地引出解一元二次方程的另一种方法——“配方法”，并带领学生分析和理解“配方法”.首先引导学生回顾完全平方公式：“同学们，在学习配方法之前，我们先回顾一下完全平方公式，谁能够在黑板上写下完全平方公式的通式？”
学生的答案：[（a b）2=a2 2ab b2].
待学生写完，再问学生：“（2）题中的一次项12x与完全平方公式中的2ab有什么联系吗？”
学生恍然大悟：“[12x=2×x×6]，所以[x2 12x-15=（x 6）2-51=0].”
师：“没错，这就是解一元二次方程的另外一种方法——配方法.现在我们来分析一下配方法的几个关键步骤，首先是将一般方程转化成一个完全平方式子与常数项的组合，然后再将常数项移项，最后再运用直接开平方法对一元二次方程进行求解.现在我们运用配方法解几个一元二次方程……”
在上述案例中，通过设置难点，引发学生对数学问题的探究，找准一元二次方程解法的衔接点，从而有效帮助学生学习配方法，并为之后的学习奠定基础.
五、总结数学规律，寻求数学知识的突破点
众所周知，囫囵吞枣是初中生学习知识的通病.在初中数学教学中，为了有效提升学生学习数学知识的效率，教师可以在教学过程中鼓励学生通过总结数学规律来理解和记忆知识点，从而找到数学知识的突破点，促进学生对数学知识点的理解与记忆.
例如，教师可在教学“圆”的相关知识点时给学生提出几个思考问题，并组织学生通过小组合作，共同交流探讨问题的答案，从而总结与圆相关的数学规律，并引导学生思考如下问题：
（1）两个圆之间存在多少种可能的位置关系？影响位置关系的因素是什么？
（2）点和圆，直线和圆存在多少种可能的位置关系？影响位置关系的因素是什么？
经过小组探讨交流之后，学生的答案逐渐明朗，其中一个小组的答案如下：
（1）通过观察和动手操作发现两个圆之间可能存在相切、相交和相离三种位置关系.影响圆与圆之间位置关系的因素有两个：圆心距和两个圆的半径.
（2）根据点与圆心的距离大小可以发现点和圆存在三种不同的位置关系：点在圆上、点在圆外和点在圆内；根据直线与圆心的垂直距离大小可以发现直线和圆存在三种不同的位置关系：相离、相切和相交.影响位置关系的因素是圆心到点（直线）的垂直距离和圆半径的大小.
看完每个小组学生的答案之后，我便问学生：“同学们，你们能不能概括一下点、直线和圆之间的位置关系呢？”
生：“均存在相切、相交和相离三种位置关系.”
师：“可是点与圆的位置关系是在圆上、在圆内和在圆外呀？”
生：“点在圆上可以看成是相切和相交的位置关系，而点在圆内和圆外则可以看成是相离的关系.”
师：“非常棒，现在我们来做几个练习题，巩固一下所学的知识点吧……”
在上述案例中，教师为学生设计了两个与教材知识相关的思考题，并让学生分组探讨得到相应的答案，然后再与学生互动，引导学生总结其中的一些数学规律，从而帮助学生找到点、直线与圆位置关系的突破点，促进学生对这一知识点的理解与记忆.
总而言之，关键点的研究对数学教学极为重要.在初中数学教学中，教师可以从数学知识的生长点、渗透点、探究点、衔接点和突破点等方面采取相应的教学措施，实现以“点”促教，从而锻炼学生的数学思维并提升学生的数学能力.
[ 参 考 文 献 ]
[1] 宋淑英.生长点·渗透点·探究点：初中数学有效教学中几个关键点的把握[J].考试周刊，2018（33）：67-68.
[2] 梁伟豪.分析教材，运筹帷幄：试论初中数学教材分析的几个关键点[J].课程教育研究，2012（5）：71.
（责任编辑 易志毅）