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高中数学问题中复合函数结构非常普遍，因为仅靠七个基本初等函数来认识和研究函数是远远不够的，但是复合函数本身又有很多限制，几十年来高考复习中出现了很多错误的认识，一定要纠正过来，否则教给学生的是错误的答案或问题，而复合函数本身什么时间引入比较合适呢？也是值得思考的，本文就对复合函数几方面的认识谈自己的见解。
1.函数定义域
人教A版必修一第17页有一道问题：
问题一：（例1 ）已知函数.
（1）求函數的定义域；
（2）求的值；
（3）当a>0时，求f（a），f（a-1）的值。
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例，如果只给出解析式y=f（x），而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。
即：自变量的取值范围--自变量取值的集合就是函数的定义域，用符号语言表示为：若函数f（x）的定义域为集合A，则有意义，无意义。
2.复合函数的定义域
问题二：
（1）已知函数f（x）的定义域为（-1，1），求函数f（x-1） f（1-2x）的定义域。
（2）已知函数f（x-1）的定义域为（-1，2），求函数f（x）的定义域。
（3）已知函数f（x 1）的定义域为（--2，0），求函数f（1-3x）的定义域。
显然以上三个问题中的函数，既不是具体背景的函数，也不是给出解析式的函数，解决这三个问题的定义域问题的知识基础是什么？
从函数结构上来看，它们都是复合函数，对于复合函数而言，有以下认识：
已知函数f（g（x））的定义域，求f（x）的定义域等价于求g（x）的值域，基本上全国99%的老师们都是这样认识且讲给学生的，这里认识存在严重的逻辑问题。
设f（x）的定义域为D，g（x）的值域为E，只要即可。
也就是说，g（x）的值域只是映射f作用于原象取值（定义域）的子集就可以了，从逻辑上看，根本无法确定f（x）的定义域。
因此对以上三个问题都无法求解，造成几乎全国高中老师都犯错误的原因是对复合函数的认识不够。综观高中教材，必修一教材中根本没有提到复合函数的概念，为什么出现这样的问题呢？究其原因是全国满天飞的资料根本没有认识清楚，就使用了，造成几十年来的错误认识，对复合函数而言，同样的错误认识还有：
问题三：
已知函数f（x）=log3x 2，1≤x≤9，求函数y= [f（x） ]2 f（x2），求函数 的最大值.
简析：本题是一道经典问题，几乎有二十多年的历史了，在高三复习资料中，很容易找到，其实这道问题没有答案，因为复合函数的定义域告诉我们，没办法求出确切的所求函数的定义域，而几十年来，大家一直停留在：的错误认识中，现在一定要纠正过来，给大家一个正确的认识，本题没办法求解，是一道错题。
除了定义域问题，还有函数解析式方面的错误认识：
3.函数的解析式
问题四：
已知，求f（x）的解析式.
几乎所有的见到的资料都是以下解法：
解：∵，
∴f（x）=x2-2。
貌似天衣无缝，没有任何问题，基本所有老师讲到该题时都是千篇一律的格式，可能认为出现问题，也是没有考虑定义域，根据上面的认识定义域本身都是问题，大
家可以检验以下：是不是符合已知条件呢？答案是肯定的，为什么出现问题呢？都是复合函数惹的祸。
4.复合函数的引入思考一
现在的问题是，要不要引入复合函数呢？
答案是肯定的，因为：人教A版选修2-2第16-17页
思考：如何求函数y=ln（x 2）的导数呢？
我们无法用现成的方法求函数y=ln（x 2）的导数，下面，我们先分析这个函数的结构特点.
若设u=x 2（x>-2），则y=lnu，从而y=ln（x 2）可以看成是由y=lnu和u=x 2（x>-2）经过“复合”得到的。即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.
如果把y与u的关系记作y=lnu，u和x的关系记作u=g（x），那么这个“复合”过程可表示为：y=f（u）=f（g（x））=ln（x 2）.
我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过“复合”得到的.例如，函数 由y=（2x 3）2由y=u2和u=2x 3复合”而成，等等。
一般地，对于两个函数y=f（u）和u=（g（x），如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f（u）和u=（g（x）的复合函数（composite function），记作y=f（g（x））.
复合函数y=f（g（x））的导数和函数y=f（u），u=（g（x）的导数间的关系为：
yx’=yu’ · ux’
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。
由此可得，y=ln（x 2）对x的导数等于y=lnu对u的导数与u=x 2对x的导数的乘积，即：
yx’=yu’ · ux’=（lnu）’·（x 2）’。
课本随之给出例4，三个复合函数的求导运算.
那么问题是：到导数时才引入复合函数吗？仁者见仁、智者见智，笔者的想法是早一点引入：
5.复合函数的引入思考二
复合函数的单调性问题
问题五：
已知函数，求f（x）的单调区间。
复合函数的单调性法则是：同增异减，因为对这样的问题等导数学完后求导面临着简单问题复杂化，而复合函数的研究就是一种很好的途径，并且其理论使用是没有问题的。
基于以上认识，在引入复合函数时要慎重，对复合函数的问题最好做到：要能回避的尽量回避，需要研究的还需认真研究，这样道理会讲的清楚些，比如：
问题六：
1.若函数f（x）=ln（x2 x m）的定义域为R，求实数m的取值范围。
2.已知函数f（x）=ln（x2 x m）的值域为R，求实数m的取值范围。
分析：这两个问题研究的是同一个函数，只是两个方面的问题，第一道题不难理解，是△<0的问题，第二道问题是△≥的产物，究其原因还是复合函数的作用，f（x）=ln（x2 x m）是由f（x）=lnu，u=x2 x m复合得到，然后再把内函数u=x2 x m关联到一元二次方程x2 x m=0，几何直观转化完成问题的分析与求解，但对第二道题来说，解释的还是不够科学，笔者认为用下列解释是否便于真正理解呢？
若函数f（x）=ln（x2 x m）的值域为R，则x2 x m>0在R上不恒成立？
如果把此问题搞清楚，原问题就容易理解了。
证明：假设x2 x m>0在R上不恒成立，则存在正数n，使得x2 x m>n，
故有：ln（x2 x m）>lnu，所以f（x）的值域为，与f（x）的值域为R矛盾，即假设不成立，因此若函数f（x）=ln（x2 x m）的值域为R，则x2 x m>0在R上不恒成立。在使用判别式是顺理成章的事情，道理讲的很明白、直接，究其原因还是复合函数的功劳，所以对复合函数这一概念在学习完幂函数后再引入是非常合适的。
以上问题的分析，对于复合函数，引入要适宜，使用要慎重，千万不要传递给学生一些错误的认识。
1.函数定义域
人教A版必修一第17页有一道问题：
问题一：（例1 ）已知函数.
（1）求函數的定义域；
（2）求的值；
（3）当a>0时，求f（a），f（a-1）的值。
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例，如果只给出解析式y=f（x），而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。
即：自变量的取值范围--自变量取值的集合就是函数的定义域，用符号语言表示为：若函数f（x）的定义域为集合A，则有意义，无意义。
2.复合函数的定义域
问题二：
（1）已知函数f（x）的定义域为（-1，1），求函数f（x-1） f（1-2x）的定义域。
（2）已知函数f（x-1）的定义域为（-1，2），求函数f（x）的定义域。
（3）已知函数f（x 1）的定义域为（--2，0），求函数f（1-3x）的定义域。
显然以上三个问题中的函数，既不是具体背景的函数，也不是给出解析式的函数，解决这三个问题的定义域问题的知识基础是什么？
从函数结构上来看，它们都是复合函数，对于复合函数而言，有以下认识：
已知函数f（g（x））的定义域，求f（x）的定义域等价于求g（x）的值域，基本上全国99%的老师们都是这样认识且讲给学生的，这里认识存在严重的逻辑问题。
设f（x）的定义域为D，g（x）的值域为E，只要即可。
也就是说，g（x）的值域只是映射f作用于原象取值（定义域）的子集就可以了，从逻辑上看，根本无法确定f（x）的定义域。
因此对以上三个问题都无法求解，造成几乎全国高中老师都犯错误的原因是对复合函数的认识不够。综观高中教材，必修一教材中根本没有提到复合函数的概念，为什么出现这样的问题呢？究其原因是全国满天飞的资料根本没有认识清楚，就使用了，造成几十年来的错误认识，对复合函数而言，同样的错误认识还有：
问题三：
已知函数f（x）=log3x 2，1≤x≤9，求函数y= [f（x） ]2 f（x2），求函数 的最大值.
简析：本题是一道经典问题，几乎有二十多年的历史了，在高三复习资料中，很容易找到，其实这道问题没有答案，因为复合函数的定义域告诉我们，没办法求出确切的所求函数的定义域，而几十年来，大家一直停留在：的错误认识中，现在一定要纠正过来，给大家一个正确的认识，本题没办法求解，是一道错题。
除了定义域问题，还有函数解析式方面的错误认识：
3.函数的解析式
问题四：
已知，求f（x）的解析式.
几乎所有的见到的资料都是以下解法：
解：∵，
∴f（x）=x2-2。
貌似天衣无缝，没有任何问题，基本所有老师讲到该题时都是千篇一律的格式，可能认为出现问题，也是没有考虑定义域，根据上面的认识定义域本身都是问题，大
家可以检验以下：是不是符合已知条件呢？答案是肯定的，为什么出现问题呢？都是复合函数惹的祸。
4.复合函数的引入思考一
现在的问题是，要不要引入复合函数呢？
答案是肯定的，因为：人教A版选修2-2第16-17页
思考：如何求函数y=ln（x 2）的导数呢？
我们无法用现成的方法求函数y=ln（x 2）的导数，下面，我们先分析这个函数的结构特点.
若设u=x 2（x>-2），则y=lnu，从而y=ln（x 2）可以看成是由y=lnu和u=x 2（x>-2）经过“复合”得到的。即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.
如果把y与u的关系记作y=lnu，u和x的关系记作u=g（x），那么这个“复合”过程可表示为：y=f（u）=f（g（x））=ln（x 2）.
我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过“复合”得到的.例如，函数 由y=（2x 3）2由y=u2和u=2x 3复合”而成，等等。
一般地，对于两个函数y=f（u）和u=（g（x），如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f（u）和u=（g（x）的复合函数（composite function），记作y=f（g（x））.
复合函数y=f（g（x））的导数和函数y=f（u），u=（g（x）的导数间的关系为：
yx’=yu’ · ux’
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。
由此可得，y=ln（x 2）对x的导数等于y=lnu对u的导数与u=x 2对x的导数的乘积，即：
yx’=yu’ · ux’=（lnu）’·（x 2）’。
课本随之给出例4，三个复合函数的求导运算.
那么问题是：到导数时才引入复合函数吗？仁者见仁、智者见智，笔者的想法是早一点引入：
5.复合函数的引入思考二
复合函数的单调性问题
问题五：
已知函数，求f（x）的单调区间。
复合函数的单调性法则是：同增异减，因为对这样的问题等导数学完后求导面临着简单问题复杂化，而复合函数的研究就是一种很好的途径，并且其理论使用是没有问题的。
基于以上认识，在引入复合函数时要慎重，对复合函数的问题最好做到：要能回避的尽量回避，需要研究的还需认真研究，这样道理会讲的清楚些，比如：
问题六：
1.若函数f（x）=ln（x2 x m）的定义域为R，求实数m的取值范围。
2.已知函数f（x）=ln（x2 x m）的值域为R，求实数m的取值范围。
分析：这两个问题研究的是同一个函数，只是两个方面的问题，第一道题不难理解，是△<0的问题，第二道问题是△≥的产物，究其原因还是复合函数的作用，f（x）=ln（x2 x m）是由f（x）=lnu，u=x2 x m复合得到，然后再把内函数u=x2 x m关联到一元二次方程x2 x m=0，几何直观转化完成问题的分析与求解，但对第二道题来说，解释的还是不够科学，笔者认为用下列解释是否便于真正理解呢？
若函数f（x）=ln（x2 x m）的值域为R，则x2 x m>0在R上不恒成立？
如果把此问题搞清楚，原问题就容易理解了。
证明：假设x2 x m>0在R上不恒成立，则存在正数n，使得x2 x m>n，
故有：ln（x2 x m）>lnu，所以f（x）的值域为，与f（x）的值域为R矛盾，即假设不成立，因此若函数f（x）=ln（x2 x m）的值域为R，则x2 x m>0在R上不恒成立。在使用判别式是顺理成章的事情，道理讲的很明白、直接，究其原因还是复合函数的功劳，所以对复合函数这一概念在学习完幂函数后再引入是非常合适的。
以上问题的分析，对于复合函数，引入要适宜，使用要慎重，千万不要传递给学生一些错误的认识。