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《学记》中说:“学然后知不足,知不足,然后能自反也.”反思是一个能动的、审慎的知识加工过程.初中学生在学习中往往只是按部就班、照例模仿、套公式解题、重复机械按老师要求完成作业、应付考试.在平时教学中,我们经常听到不少教师埋怨:这道题刚刚讲过,学生又做得一塌糊涂.而学生也常拍着脑袋喊冤:这题我已经做了好几遍了,怎么一下子又没做出来.出现这种现象的原因就在于:师生只注重定理的结果而忽视定理的形成,或只注重做题的数量,而忽视解题的质量;而其中的关键恰恰是轻视解题的过程以及学习后的反思.因此要提高学生数学能力,就必须培养学生学习数学的反思总结能力.
一、反思课堂学习,理顺知识脉络,寻找新知生长点
我们知道,要学好数学需要理解记忆,也就是要明白数学知识的形成过程.当前数学教学中我们发现很多学生普遍存在着仅把结果记住,而忽略理论推导过程的现象.数学对象的抽象性决定了学习数学离不开思考,一旦离开了思考,将造成不求甚解,只求记住若干“处方”,不仅兹长和强化模仿记忆和机械记忆之惰性,也给进一步学习数学知识带来很大的困难.课堂学习需要“思”什么?
1. 反思这节课讲的内容是什么,能口述吗?课堂主要流程在头脑中是否清晰?反思自己是否明白一节课的重点知识?这个知识点老师是怎么分析的,用什么知识引入?为什么要用该知识?它与旧知识有何联系?
2. 反思例题的功能:例题用到了新知识的哪些方面?老师小结例题时说到该题用什么数学方法?这样做的目的是什么?为什么老师就能想出那么多种解法?最简便的是哪一种?该题型前面有类似题型吗?等等.
3. 反思自己的课堂参与度,思维能跟上老师的节奏吗?只有在课堂上拥有一定的时间思考和参与,才能做一个真正的学习者.
在学习中,只有不断地做到反思一课堂的知识脉络,反思题目的功能性,反思自己的学习状态,才能轻松学习,培养自己思维的条理性、周密性,做一个有悟性的学习者.
二、反思解题思路,寻找解题突破口,提升思维品质
数学能力的提高离不开做题,但解题后的反思更重要,与其匆匆忙忙地抢做5张试卷,还不如深入透彻地掌握3张试卷,追求解题质量,好好反思每一道题.因此,我们要引导学生积极探索,经历反思过程,提高数学思维能力.
例:如图,E,F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点,AE=CF.请你猜想:BE与DF有怎样的关系?并对你的猜想加以证明.
反思概念:本题蕴含了平行四边形概念和性质,平行四边形的判定方法,全等三角形的性质与判定.
这道题在解题时有哪些方面值得反思呢?
首先是能力:包括四边形添加常见辅助线的能力,对各概念和性质进行概括加工的能力,以及怎样证明线段相等和平行的能力等.
其次是方法:1. 证明方法有多种,可以通过证明BE与DF所在的三角形全等解决问题,也可以通过证BE与DF所在的四边形是平行四边形解决问题(证明略).学生在解题时应该从不同角度、不同方式去反思,通过探求一题多解,寻找最优的解题方法,拓宽发散思维能力.2. 反思条件与结论的本质联系,反思常见辅助线添加方法,反思基本图形的迁移作用.3. 反思变化.学生在做出正确答案而感到喜悦的同时,还应该进一步去反思图形的变化,若条件变成“E,F是平行四边形ABCD的对角线AC的延长线上的点,AE=CF”,还能得到同样的结果吗?
再次是变形:如图,E,F是平行四边形ABCD的对角线AC的延长线上的点,AE=CF.请你猜想:BE与DF有怎样的关系?并对你的猜想加以证明.
通过反思、认真分析,BE与DF的关系依然成立.经常让学生探索一些“变”的问题,在“变”中寻找统一,在“变”中探索差异.这不仅能改变学生的常规思维,打破思维定势,而且还能培养他们思维的批判性,同时也让学生感觉到数学中的辩证美.
另外解题后还可以反思题目能否变换引申,改变题目的条件,会导出什么新结论;保留题目的条件,结论能否进一步加强;条件作类似的变换,结论能否扩大到一般;思维方法能否迁移.在的心灵中撒播“善于思考”的种子,搭建可持续发展的平台.
解题本身不是学习的目的,而只是一种训练手段,学生在做题时应主动找出本题所蕴含的概念和性质并发现规律,形成技能,理清解题思路,择机对问题进行突破,并努力寻找解决问题的最佳方案,从而使解题过程清晰化,思维条理化、精确化和概括化.
三、反思解题过程,积累经验,形成解题“宝典”
1. 题目做好以后,反思结论是否符合实际,切记结论荒谬,以免出现像“李老师每小时步行60千米”的情况.
2. 检查是否笔误或概念不清.笔误在做几何证明题时经常会出现,在用三个字母表示角时,切记字母写错,因此在几何证明题做好以后,要从头到尾再检查一遍.还有一些学生是因为概念不清而导致错误,如:函数y=的自变量x的取值范围为_____.有很多学生答案为x≠0,把分母不为0,误认为x≠0.
3. 是否审题不仔细或忽视了隐含条件.
例:(1)Rt△ABC的两边分别为3和4,则斜边长为 4或5.(2)Rt△ABC的两边分别为3和4,则第三边长为5或.
很多学生把这两题混淆起来.数学语言的表达是十分准确并具有特殊意义的,对于题目中的每一个字、每一个符号、每一句话都要进行斟酌,把隐含在条件中的某种关系挖掘出来.
4. 运算是否正确.对于计算类型的题目,做完以后,一般要再验算一遍.很多学生都会出现算了两遍,甚至3遍,出现同一个答案,以为正确.试卷一发下来,才恍然大悟,这是由于思维定势的影响,我们应从不同的角度进行验算.
四、反思知识迁移,培养创新能力,享受学习成就感
学生做题往往是为做题而做题,没有认真分析解题后的知识的迁移,而学生在对题目进行反思引伸、拓展,会更进一步激发自身的求知欲望,培养自己自觉探究的良好习惯,享受成功的喜悦,培养学生创新思维能力.
例:已知四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,求证:四边形EFGH是平行四边形.
学生对本题并不陌生,经过一番思考,不难发现正确方法,但往往不去反思四边形的特殊性导致的结果,更没有从特殊迁移到一般的思维过程.学生在证明完成后可以反思:若四边形ABCD是特殊的四边形,如等腰梯形、矩形、菱形、正方形等时,四边形EFGH又是什么四边形呢?
得出结论后又可进一步反思,此四边形若分别满足条件:(1)对角线相等;(2)对线相互垂直;(3)对角线相互垂直且相等.又会得到什么结论呢?
再反思:沿任意四边形对边中点剪开成4块,都可以拼成平行四边形(奇妙).
通过这样的反思把结论从特殊到一般,而且使自己对特殊四边形的判定与性质及它们间的联系理解得更加透彻,达到对知识的迁移,并能得出如上奇妙而有趣的结果,享受了做数学题的乐趣.
反思是对数学学习思维过程进行回顾性的思索,以获取学习的经验或教训.数学的理解要靠学生自己的领悟才能获得,而领悟又靠对思维过程的不断反思才能达到.反思是提高数学能力的重要环节,学生要不断地对问题进行观察分析、归纳类比、抽象概括,对解题中所蕴含的数学方法、数学思想进行提炼与概括,重构自己的认知结构,才能在反思中获得方法、在反思中升华思维、在反思中提高能力、在反思中重塑自我、超越自我,从而发展思维,提高探索能力.
责任编辑罗峰
一、反思课堂学习,理顺知识脉络,寻找新知生长点
我们知道,要学好数学需要理解记忆,也就是要明白数学知识的形成过程.当前数学教学中我们发现很多学生普遍存在着仅把结果记住,而忽略理论推导过程的现象.数学对象的抽象性决定了学习数学离不开思考,一旦离开了思考,将造成不求甚解,只求记住若干“处方”,不仅兹长和强化模仿记忆和机械记忆之惰性,也给进一步学习数学知识带来很大的困难.课堂学习需要“思”什么?
1. 反思这节课讲的内容是什么,能口述吗?课堂主要流程在头脑中是否清晰?反思自己是否明白一节课的重点知识?这个知识点老师是怎么分析的,用什么知识引入?为什么要用该知识?它与旧知识有何联系?
2. 反思例题的功能:例题用到了新知识的哪些方面?老师小结例题时说到该题用什么数学方法?这样做的目的是什么?为什么老师就能想出那么多种解法?最简便的是哪一种?该题型前面有类似题型吗?等等.
3. 反思自己的课堂参与度,思维能跟上老师的节奏吗?只有在课堂上拥有一定的时间思考和参与,才能做一个真正的学习者.
在学习中,只有不断地做到反思一课堂的知识脉络,反思题目的功能性,反思自己的学习状态,才能轻松学习,培养自己思维的条理性、周密性,做一个有悟性的学习者.
二、反思解题思路,寻找解题突破口,提升思维品质
数学能力的提高离不开做题,但解题后的反思更重要,与其匆匆忙忙地抢做5张试卷,还不如深入透彻地掌握3张试卷,追求解题质量,好好反思每一道题.因此,我们要引导学生积极探索,经历反思过程,提高数学思维能力.
例:如图,E,F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点,AE=CF.请你猜想:BE与DF有怎样的关系?并对你的猜想加以证明.
反思概念:本题蕴含了平行四边形概念和性质,平行四边形的判定方法,全等三角形的性质与判定.
这道题在解题时有哪些方面值得反思呢?
首先是能力:包括四边形添加常见辅助线的能力,对各概念和性质进行概括加工的能力,以及怎样证明线段相等和平行的能力等.
其次是方法:1. 证明方法有多种,可以通过证明BE与DF所在的三角形全等解决问题,也可以通过证BE与DF所在的四边形是平行四边形解决问题(证明略).学生在解题时应该从不同角度、不同方式去反思,通过探求一题多解,寻找最优的解题方法,拓宽发散思维能力.2. 反思条件与结论的本质联系,反思常见辅助线添加方法,反思基本图形的迁移作用.3. 反思变化.学生在做出正确答案而感到喜悦的同时,还应该进一步去反思图形的变化,若条件变成“E,F是平行四边形ABCD的对角线AC的延长线上的点,AE=CF”,还能得到同样的结果吗?
再次是变形:如图,E,F是平行四边形ABCD的对角线AC的延长线上的点,AE=CF.请你猜想:BE与DF有怎样的关系?并对你的猜想加以证明.
通过反思、认真分析,BE与DF的关系依然成立.经常让学生探索一些“变”的问题,在“变”中寻找统一,在“变”中探索差异.这不仅能改变学生的常规思维,打破思维定势,而且还能培养他们思维的批判性,同时也让学生感觉到数学中的辩证美.
另外解题后还可以反思题目能否变换引申,改变题目的条件,会导出什么新结论;保留题目的条件,结论能否进一步加强;条件作类似的变换,结论能否扩大到一般;思维方法能否迁移.在的心灵中撒播“善于思考”的种子,搭建可持续发展的平台.
解题本身不是学习的目的,而只是一种训练手段,学生在做题时应主动找出本题所蕴含的概念和性质并发现规律,形成技能,理清解题思路,择机对问题进行突破,并努力寻找解决问题的最佳方案,从而使解题过程清晰化,思维条理化、精确化和概括化.
三、反思解题过程,积累经验,形成解题“宝典”
1. 题目做好以后,反思结论是否符合实际,切记结论荒谬,以免出现像“李老师每小时步行60千米”的情况.
2. 检查是否笔误或概念不清.笔误在做几何证明题时经常会出现,在用三个字母表示角时,切记字母写错,因此在几何证明题做好以后,要从头到尾再检查一遍.还有一些学生是因为概念不清而导致错误,如:函数y=的自变量x的取值范围为_____.有很多学生答案为x≠0,把分母不为0,误认为x≠0.
3. 是否审题不仔细或忽视了隐含条件.
例:(1)Rt△ABC的两边分别为3和4,则斜边长为 4或5.(2)Rt△ABC的两边分别为3和4,则第三边长为5或.
很多学生把这两题混淆起来.数学语言的表达是十分准确并具有特殊意义的,对于题目中的每一个字、每一个符号、每一句话都要进行斟酌,把隐含在条件中的某种关系挖掘出来.
4. 运算是否正确.对于计算类型的题目,做完以后,一般要再验算一遍.很多学生都会出现算了两遍,甚至3遍,出现同一个答案,以为正确.试卷一发下来,才恍然大悟,这是由于思维定势的影响,我们应从不同的角度进行验算.
四、反思知识迁移,培养创新能力,享受学习成就感
学生做题往往是为做题而做题,没有认真分析解题后的知识的迁移,而学生在对题目进行反思引伸、拓展,会更进一步激发自身的求知欲望,培养自己自觉探究的良好习惯,享受成功的喜悦,培养学生创新思维能力.
例:已知四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,求证:四边形EFGH是平行四边形.
学生对本题并不陌生,经过一番思考,不难发现正确方法,但往往不去反思四边形的特殊性导致的结果,更没有从特殊迁移到一般的思维过程.学生在证明完成后可以反思:若四边形ABCD是特殊的四边形,如等腰梯形、矩形、菱形、正方形等时,四边形EFGH又是什么四边形呢?
得出结论后又可进一步反思,此四边形若分别满足条件:(1)对角线相等;(2)对线相互垂直;(3)对角线相互垂直且相等.又会得到什么结论呢?
再反思:沿任意四边形对边中点剪开成4块,都可以拼成平行四边形(奇妙).
通过这样的反思把结论从特殊到一般,而且使自己对特殊四边形的判定与性质及它们间的联系理解得更加透彻,达到对知识的迁移,并能得出如上奇妙而有趣的结果,享受了做数学题的乐趣.
反思是对数学学习思维过程进行回顾性的思索,以获取学习的经验或教训.数学的理解要靠学生自己的领悟才能获得,而领悟又靠对思维过程的不断反思才能达到.反思是提高数学能力的重要环节,学生要不断地对问题进行观察分析、归纳类比、抽象概括,对解题中所蕴含的数学方法、数学思想进行提炼与概括,重构自己的认知结构,才能在反思中获得方法、在反思中升华思维、在反思中提高能力、在反思中重塑自我、超越自我,从而发展思维,提高探索能力.
责任编辑罗峰