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向量是高中数学的重要内容，是沟通“数”与“形”的典范，也是现代数学的主要工具。向量给高中数学带来了无限生机，它与代数、几何与三角的衔接，已成为高中数学试题中的一道靓丽的风景。涉及向量的命题已成为热点，向量中蕴含的数学思想方法更是数学问题解决的灵魂。
例1已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OA+OB与a=（3，-1）共线。
（1）求离心率；
（2）设M为椭圆上任意一点，且OM=λOA+μOB（λ，μ∈R），证明：λ2+μ2为定值。
解：（1）如图1，设椭圆方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0），右焦点F（c，0），则直线为y=x-c，与椭圆方程联立得a2+b2a2b2x2-2cb2x+c2b2-1=0，x1+x2=2ca2a2+b2。又OA+OB与a=（3，-1）共线，得x1+x2=3c[]2，解得a2=3b2。则椭圆的离心率e=ca=63。
证明：（2）因为a2=3b2，所以椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0），可化为x2+3y2=3b2。
设OM=（x，y），由已知得（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2），
所以x=λx1+μx2，y=λx1+μx2。
因为M（x，y）在椭圆上，所以（λx1+μx2）2+3（λy1+μy2）2=3b2。
即λ2（x21+3y21）+μ2（x22+3y22）+2λμ（x1x2+3y1y2）=3b2。①
由①知x1+x2=3c2，a2=32c2，b2=12c2，x1x2=a2c2-a2b2a2+b2=38c2。
x1x2+3y1y2=0。
又x21+3y21=3b2，x22+3y22=3b2，代入①得λ2+μ2=1。
故λ2+μ2为定值，定值为1。
例2已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（3，0）。
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y=kx+2与双曲线C恒有两个不同的交点A、B，且OA·OB>2（其中O为原点），求k的取值范围。
分析：这是一道涉及直线与圆锥曲线位置关系的问题，可以设法得到关于k的不等式，通过解不等式求出k的范围，即“求范围，找不等式”，或者将k表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出k的范围。
解：（1）双曲线C的方程为x23-y2=1。
（2）将y=kx+2代入x23-y2=1，得（1-3k2）x2-62kx-9=0。
由直线l与双曲线交于不同的两点，得1-3k2≠0，Δ=（62k）2+36（1-3k2）=36（1-k2）>0。
即k2≠13且k2<1。①
设A（xA，yA），B（xB，yB），如图2所示。
则xA+xB=62k1-3k2，xAxB=-91-3k2，由OA·OB>2得xAxB+yAyB>2。
而xAxB+yAyB=xAxB+（kxA+2）（kxB+2）=（k2+1）xAxB+2k（xA+xB）+2
=（k2+1）-91-3k2+2k62k1-3k2+2=3k2+73k2-1。
于是3k2+73k2-1>2，即-3k2+93k2-1>0，解此不等式得：13 由①②得13 例3设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k>0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点。
（1）若ED=6DF，求k的值；
（2）求四边形AEBF面积的最大值。
解：（1）如图3，由已知得椭圆的标准方程为：
x24+y=1。直线AB的方程为x2+y=1，即x+2y-2=0。
由y=kx，x+2y-2=0，解得x=21+2k，y=2k1+2k。
即D点的坐标21+2k，2k1+2k。
由椭圆的对称性知E、F两点关于坐标原点对称。
设E（x0，y0），则F（-x0，-y0），
所以ED=21+2k-x0，2k1+2k-y0，DF=-x0-21+2k，-y0-2k1+2k。
因为ED=6DF，
即21+2k-x0=6-x0-21+2k，2k1+2k-y0=6-y0-2k1+2k。
解得x0=-145（1+2k），y0=-14k5（1+2k）。
因为E（x0，y0）在椭圆x24+y=1上，所以有14·19625（1+2k）2+196k225（1+2k）2=1。
化简得24k2-25k+6=0。
解得k=23或k=38。
（2）把直线y=kx与椭圆方程x24+y=1联立，得方程组：
y=kx，x24+y2=1（1+4k2）x2-4=0。
因为Δ>0恒成立，所以直线与椭圆有两个不同的交点。
设E（x1，y1），F（x2，y2），
则x1+x2=0，x1x2=-41+4k2。
|EF|=1+k2·（x1+x2）2-4x1x2=41+k21+4k2。
设A、B两点到直线EF的距离分别为h1、h2，则h1=11+k2，h2=2k1+k2。
所以SAEBF=12∣EF︳（h1+h2）
=12×41+k21+4k211+k2+2k1+k2
≤22。
當且仅当4k=1k，即k=12或k=-12（舍去）时，四边形AEBF的面积取最大值，最大值为22。
向量与解析几何的交汇问题，一般来说计算量比较大，若能巧妙应用平面向量知识解题，则能化繁为简。在学习的过程中，我对这些相关知识做了一些简单梳理，这仅仅是一次有益尝试，不足之处敬请同学们批评指正。
作者单位：河南郑州市第一中学高三（5）班
例1已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OA+OB与a=（3，-1）共线。
（1）求离心率；
（2）设M为椭圆上任意一点，且OM=λOA+μOB（λ，μ∈R），证明：λ2+μ2为定值。
解：（1）如图1，设椭圆方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0），右焦点F（c，0），则直线为y=x-c，与椭圆方程联立得a2+b2a2b2x2-2cb2x+c2b2-1=0，x1+x2=2ca2a2+b2。又OA+OB与a=（3，-1）共线，得x1+x2=3c[]2，解得a2=3b2。则椭圆的离心率e=ca=63。
证明：（2）因为a2=3b2，所以椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0），可化为x2+3y2=3b2。
设OM=（x，y），由已知得（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2），
所以x=λx1+μx2，y=λx1+μx2。
因为M（x，y）在椭圆上，所以（λx1+μx2）2+3（λy1+μy2）2=3b2。
即λ2（x21+3y21）+μ2（x22+3y22）+2λμ（x1x2+3y1y2）=3b2。①
由①知x1+x2=3c2，a2=32c2，b2=12c2，x1x2=a2c2-a2b2a2+b2=38c2。
x1x2+3y1y2=0。
又x21+3y21=3b2，x22+3y22=3b2，代入①得λ2+μ2=1。
故λ2+μ2为定值，定值为1。
例2已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（3，0）。
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y=kx+2与双曲线C恒有两个不同的交点A、B，且OA·OB>2（其中O为原点），求k的取值范围。
分析：这是一道涉及直线与圆锥曲线位置关系的问题，可以设法得到关于k的不等式，通过解不等式求出k的范围，即“求范围，找不等式”，或者将k表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出k的范围。
解：（1）双曲线C的方程为x23-y2=1。
（2）将y=kx+2代入x23-y2=1，得（1-3k2）x2-62kx-9=0。
由直线l与双曲线交于不同的两点，得1-3k2≠0，Δ=（62k）2+36（1-3k2）=36（1-k2）>0。
即k2≠13且k2<1。①
设A（xA，yA），B（xB，yB），如图2所示。
则xA+xB=62k1-3k2，xAxB=-91-3k2，由OA·OB>2得xAxB+yAyB>2。
而xAxB+yAyB=xAxB+（kxA+2）（kxB+2）=（k2+1）xAxB+2k（xA+xB）+2
=（k2+1）-91-3k2+2k62k1-3k2+2=3k2+73k2-1。
于是3k2+73k2-1>2，即-3k2+93k2-1>0，解此不等式得：13
（1）若ED=6DF，求k的值；
（2）求四边形AEBF面积的最大值。
解：（1）如图3，由已知得椭圆的标准方程为：
x24+y=1。直线AB的方程为x2+y=1，即x+2y-2=0。
由y=kx，x+2y-2=0，解得x=21+2k，y=2k1+2k。
即D点的坐标21+2k，2k1+2k。
由椭圆的对称性知E、F两点关于坐标原点对称。
设E（x0，y0），则F（-x0，-y0），
所以ED=21+2k-x0，2k1+2k-y0，DF=-x0-21+2k，-y0-2k1+2k。
因为ED=6DF，
即21+2k-x0=6-x0-21+2k，2k1+2k-y0=6-y0-2k1+2k。
解得x0=-145（1+2k），y0=-14k5（1+2k）。
因为E（x0，y0）在椭圆x24+y=1上，所以有14·19625（1+2k）2+196k225（1+2k）2=1。
化简得24k2-25k+6=0。
解得k=23或k=38。
（2）把直线y=kx与椭圆方程x24+y=1联立，得方程组：
y=kx，x24+y2=1（1+4k2）x2-4=0。
因为Δ>0恒成立，所以直线与椭圆有两个不同的交点。
设E（x1，y1），F（x2，y2），
则x1+x2=0，x1x2=-41+4k2。
|EF|=1+k2·（x1+x2）2-4x1x2=41+k21+4k2。
设A、B两点到直线EF的距离分别为h1、h2，则h1=11+k2，h2=2k1+k2。
所以SAEBF=12∣EF︳（h1+h2）
=12×41+k21+4k211+k2+2k1+k2
≤22。
當且仅当4k=1k，即k=12或k=-12（舍去）时，四边形AEBF的面积取最大值，最大值为22。
向量与解析几何的交汇问题，一般来说计算量比较大，若能巧妙应用平面向量知识解题，则能化繁为简。在学习的过程中，我对这些相关知识做了一些简单梳理，这仅仅是一次有益尝试，不足之处敬请同学们批评指正。
作者单位：河南郑州市第一中学高三（5）班