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摘 要：纵观近年数学中考，对几何入门的考查相当纯粹，比如解答题部分中的第一道几何题，动辄就是以教科书中的原题或只是略作改编后呈现。即便如此，学生的答题得分情况仍不尽如人意，存在各式各样的问题，其很大原因是学生在几何入门学习时出了问题。本文以笔者十几年的教学经验为立足点，通过几个方面谈谈初中几何入门的考与教。
关键词：中考；规范化；逻辑推理能力；基本图形
图形与几何是初中数学的重要组成部分，在中考涉及的知识点中近乎占据半壁江山，涵盖空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量，图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影，平面图形基本性质的证明，运用坐标描述图形的位置和运动等方面的內容，旨在注重发展和培养学生的符号意识、空间观念、几何直观、推理能力等数学核心素养。
建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式，教学中教师应注重发展学生的符号感，培养学生正确认识、规范书写、科学使用符号的良好习惯；空间观念主要是指发展学生的图形感，培养和提高学生在解决几何问题中的识图与画图、析图与用图、变图与比图等能力；几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，培养学生数形结合的思想，形成“以形助数、以数解形”的数学素养；推理能力的发展贯穿在整个数学学习过程中，旨在培养学生合情推理和演绎推理的逻辑思维能力，清晰地表达自己的想法。
上述数学核心素养都是基于初中几何入门教学而形成的。因此，初中几何入门教学是整个几何教学的基石，对后续的教学有着深远影响。纵观近年数学中考，对几何入门的考查相当纯粹，比如解答题部分中的第一道几何题，动辄就是以教科书中的原题或只是略作改编后呈现。
例1 （2014年福州，第17题）如图1，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C。求证：∠A=∠D。（新人教版八年级上册P39练习第2题，原题）
例2 （2015年福州，第19题）如图2，∠1=∠2，∠3=∠4。求证：AC=AD。（新人教版八年级上册P44习题12.2第4题，原题）
例3 （2016年福州，第21题）一个平分角的仪器如图3所示，其中AB=AD，BC=DC。求证：∠BAC=∠DAC。（新人教版八年级上册P4812.3角平分线的性质思考，原题）
例4 （2017年福州，第18题）如图4，已知AC=DF，CB=FE，AD=BE，求证：∠C=∠F。（新人教版八年级上册P44习题12.2第9题，原题）
数学中考中即便是以原题呈现，学生的答题得分情况仍不尽如人意，存在着各式各样的问题。下面笔者以2016年福州市初中毕业班第二次质量检测第21题的学生答题情况为例，归纳整理其中的问题，为几何入门教学提供一些参考。此题改编自新人教版八年级上册第十二章第56页第9题，改编后难度下降。
例5 （新人教版八年级上P56复习题12第9题）如图5，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，
BE⊥CE，垂足分别是D，E。AD=2.5 cm，DE=1.7 cm。求BE的长。
（2016福州二检·21题）如图6，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E。求证： △ACD≌△CBE。
此8分，主要考查全等三角形的判定，涉及的相关知识点有角的表示（七上）、三角形内角和定理（八上）、直角三角形的两个锐角互余（八上）、同（等）角的余角相等（七上）及三角形全等的判定（八上）。经统计，此题全福州市考生的得分情况如上方统计图。
统计数据显示，此题平均分为5.62分，满分率仅45.38%，15.19%的考生得分为0，29.71%的考生得分在5分以下。随机抽查一些学生的答卷，除空白卷外，失分现象主要集中在以下五个方面：一是书写不规范。首先是角的表示不规范，只能用三个大写字母表示角时只用一个字母表示角。其次是用三角形内角和定理求角度时书写不规范，如∠B ∠BCE=△BCE-∠E。再是字母、全等、角等符号书写不规范，如把“∠”写成了“<”或“C”，把“≌”写成“≈”，把“∵”和“∴”写反了等。二是逻辑不清晰。证明思路不同寻常，条理混乱、繁琐，条件和结论不匹配，漏掉关键步骤，写了很大的篇幅也没有找准解决问题的关键。三是卷面不整洁。解答过程字迹潦草、涂改严重、排版混乱，把答案写到了图形上甚至超出了规定的答题区域。四是条件随意加。这类问题的学生主观意识太强，看完图形以后，凭主观意识随意添加条件，比如将度量的角度值或直接认为∠BCE=30°作为条件。五是判定不理解。对全等三角形的判定方法不甚理解，如把HL作为本题全等的判定方法，而且还是把一个角和一条边作为HL的判定条件。
二检如此，中考亦是如此。初三的学生面对几何入门的考查尚存诸多问题，作为教师必须深刻反思平时的教与学，尤其是几何入门的教与学。教师作为执教者和学生学习的引路人，在几何入门教学时就应十分重视这些问题的出现，及时纠正，为学生夯实基础。笔者认为，如果教师在“教”的这三个方面下足工夫，那么学生在“学”上一定会大有收获，快速做好几何入门，养成良好的解题习惯，提高逻辑推理能力。
一、 培养学生规范书写的习惯和能力。
规范是指按照既定标准、规范的要求进行操作，使某一行为或活动达到或超越规定的标准。在几何入门教学阶段，应该在哪些方面作规范化要求？
1. 符号书写规范化。数学符号包括数量（π）、运算（×）、关系（<）、性质（±）、省略（Rt△）等符号。在教学过程中，每当出现新的符号，教师应认真说明符号的含义，正确示范符号的规范书写（如“≌”不能写成“≈”），仔细区分与已学的哪些符号容易产生混淆（如“<”与“∠”，“△”与“A”）。教师可以把学生容易写混的符号放在一起让学生辨识、训练，还可以借鉴英语学科训练学生写英文字母的要求进行符号书写训练，保证书写规范。 2. 答题排版规范化。平时应要求学生养成只在指定区域答题的良好习惯，字迹工整，字号大小适宜；可根据不同题型将答题区域用分割线划分成2～4栏；在划分好的答题区域内逐题从左往右自上而下逐行书写，并留有一定的行间距；“∵”“∴”分行书写。
3. 添辅助线规范化。解几何问题经常需要添加辅助线，而辅助线的添法必须在解题过程中用文字进行准确表述。因此，很有必要对学生进行添辅助线的规范化训练。在教学时，每出现一种新的辅助线添加方法，教师就应向学生进行准确表述示范，并不断总结归纳常见添加辅助线的方法和准确表述，让学生熟能生巧。学生在刚接触添加辅助线时，会有表述不完整或不严谨现象，甚至凭主观意识让辅助线具有“一线多得”的功能（如图7，连接AC，使得AC平分∠BAD），此时，教师应及时给予纠正和规范，向学生说明错误缘由。
4. 教师示范规范化。学生的规范书写完全是基于教师的规范示范。在教学过程中，教师在课堂上说的每一句话，板书的每一个字和符号，都将直接影响学生对问题的准确表述。因此，教师的言语表达要精准，画图作图要严谨，几何语言、例题示范等板书要规范，给学生以标准、规范的示范。
例如，在学习对顶角相等时，这个结论的三种文字语言应如何板书才规范呢？
【文字语言】 【图形语言】
（两直线相交）对顶角相等
【符号语言】
（∵AB与CD交于点O）
∴∠AOC=∠BOD
“对顶角相等”这个结论虽然简单，但在初学时，教师应将这个结论的文字补齐（上述括号内画线部分）并工整板书，这样更容易让学生正确理解和使用这个结论。
另外，课堂上学生回答或板演时不规范的地方也要及时纠正；批改作业时，教师应对错误的地方进行规范批注，对学生的错误应进行归类、反思，究其错因。如下面划线部分是学生在初学全等时常见的一种错误，应及早防范，及时纠正。
∵△DBC≌△ECB
∴△DBC-△ABC=△ECB-△ABC
∴△DBA≌△ECA
5. PPT课件规范化。现在，多数教师都会使用PPT课件辅助教学，尤其是公开课。因此，PPT课件中呈现的内容是否规范直接影响教学效果。质量好的PPT课件应使用统一的母版、字体、字号、色彩等元素，排版工整，字号适当，色彩对比度好，有良好的视觉效果。相反，如果粗制滥造，尤其是字号和字体不统一，也会影响学生的规范书写。
二、 培养学生的逻辑推理能力。
很多学生解几何问题时没有解题思路，久而久之便有畏难情绪甚至失去信心。这是由于学生在几何入门时没有理解几何证明的原理，在几何语言的使用与互化、基本图形的认识与运用、证明的格式与条理等方面没有形成体系而导致的。因此，在几何入门教学中，教师应对学生加强这些方面的训练，从而培养学生的逻辑推理能力。
（一） 三种语言交互化
几何的三种语言是指文字语言、图形语言、符号语言。三者之间的互化是以图形为纽带，建立语言、符号之间的联系。对三种语言的能力要求概括起来为“三化”，即每个几何知识点的三种语言表述要规范化，相近几何知识点的三种语言表述要系统化，所有几何知识点的三种语言表述要网络化。如以中点为例（如下图），可以将与中点相关的知识点串联起来。
（二） 玩转图形意识化
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休。”数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。可见“数形结合”是十分重要的数学思想之一。作为几何入门阶段，教师应注重发展学生的图感，逐步培养学生识图与画图、析图与用图、变图与比图等能力，为学生逐渐形成数学结合思想提供有力支撑。
识图是分析图形的基础，识图训练应从简到繁、从易到难，重点训练识别重要的基本图形。这些图形通常是考试的重点，也是解题的关键点，教师应把它们从教科书中提炼出来作重点讲解和梳理。比如“K形图”“子母型直角三角形”“一线三等角”“双A型相似三角形”“手拉手全等三角形”等等。
画图是从几何语句到直观图形的操作过程，是分析、解决问题的基本环节。用尺规完成基本作图、根据题意画出图形是学好几何的基本技能。教学时，教师可只给出文字不给出图形，采用分步训练法提高學生的画图能力。
例6 已知线段AC=3.3 cm。
（1） 点B在AC的上方，线段AB⊥AC，AB=2 cm，连接BC；
（2） AE⊥BC，垂足为E；
（3） 线段BD平分∠ABC，分别交AE，AC于点F，D；
（4） 线段FG∥BC交AC于G；
（5） 线段FH∥AC交BC于H。
析图与用图是指遇到复杂图形式，学生能分析出图形的生成过程，将其拆解成熟悉的基本图形，再用基本图形作为突破口，化整为零，解决问题。（如图8）
变图是指由一个基本图形利用图形变换或改变属性等方式进行变化，得出一个系列图组，再对比变化前后的图形的异同点，从而起到做一题通一类的效果，不断积累解题经验，提高解题能力。（如图9）
学生的析图、用图、变图、比图等能力的形成是要有一个过程，但必须在几何入门教学时教师就要做好引导并时常给予渗透。做到了这一点，相信学生的几何解题能力会很出色。
（三） 解题析题模式化
虽题海无边，但解题有法。对于解几何题，其通法主要从三个方面入手：一是析文，仔细分析题意，找出由条件可直接得出的结论；二是观图，认真观察图形，拆解图形，找出其中的基本图形；三是思论，思考需求的结论，找出条件与其之间的关联。这三个方面的有机结合是解决几何问题的关键所在。在几何入门教学时，教师应注重培养学生这三个方面的能力。 对毫无解题经验的几何初学者来说，难以快速找到解题思路和形成解题过程，教师可以采用“阅读、排序、填空、说理、纠错”等形式呈现解题过程，帮助学生固化因果关系，强化逻辑推理意识，再按照“读题→分析→猜想→验证→解答→反思”的解题流程对学生进行模式化训练，让其形成良好的解题习惯。
采用模式化训练固然有效，但前提是必须让学生先认识模式的产生，这就涉及对学习平面几何的基本认识以及落实知识的基本方法与方式。比如，在定义或定理教学中，教师不仅仅要关注定义或定理的内容，更重要的是要深究其使用条件及价值，否则学生就难以形成解题思路。例如在与平行线有关的问题中，其关键条件是截线，只有找到截线才能建立起角之间的联系。因此，解决平行线问题最常见的解题思路就是找截线到角。
例7 如图，将△ABC的两个顶点分别放在矩形DEFG的两条边上，如果∠ECB=54°，∠B=80°，那么∠BAF= °。
三、 用好教科书中的例题和习题。
从历年的中考中发现，教科书中的例题和习题经常会以原题或略作改编作为考题出现。因此，用好教科书中的例题和习题是十分有必要的，除了夯实几何基础，还能让大部分学生在中考中轻松得分，何乐而不为呢？
（一） 用好例题的示范作用
教科书中的例题都是精挑细选，非常具有代表性的，对某个知识点有很好的巩固作用，对于几何初学者来说，更具有很好的示范作用。在教学过程中，教师应认真、详细板书例题的解题过程，用彩笔标记解题过程中的注意点或易错点，供学生阅读、参考，逐步培养学生正确的书写习惯。
（二） 深挖例题的导向作用
教科书中的例题或习题，通常还会被作为中考的母题来源。在教学过程中，除了讲解原题的解法之外，教师还应注重对其进行拓展或变式，充分挖掘原题的数学价值和导向作用。
例8 已知△ABC和△CEF是正三角形。Ⅰ.如图11～12，当点B，C，E在同一直线上时，（1）求∠MCN的度数；（2）求证：△AEC≌△BFC；（3）求∠AGB的度数；（4）求证：CM=CN；（5）求证：△MCN是等边三角形；（6）若CH⊥BF，CK⊥AE，垂足分别是H，K，则请判断下列三个结论：①CH=CK；②GC平分∠BGE；③△HCK是等边三角形，哪些是正确的？并说明理由；（7）若点H，K分别是BF，AE的中点。求证：①CH=CK；②△HCK是等边三角形；（8）若CH，CK分别平分∠BCF，∠ACE。求证：①CH=CK；②△HCK是等边三角形。Ⅱ.当点B，C，E不在同一直线上时，以上结论中哪些依然成立？请说明理由。
（三） 融合基本图形的体系作用
在几何学习的不同阶段，同一个基本图形将体现不同的数学价值。在教学过程中，教师应针对不同的学习阶段，与学生一起总结归纳基本图形的用法，并与已学的用法形成体系，这对不断提高学生的解题、析题能力有很大的帮助。
例如，如图13，子母型直角三角形，这是很重要的一个基本图形。它最早出现在七年级下册的《三角形》，所涉及的知识点是“直角三角形两锐角互余”，用于计算角度；到八年级下册的《勾股定理》，所涉及的知识点是“勾股定理”，用于计算线段长度；到九年级上册的《圆》，所涉及的知识点是“圆周角定理”和“垂径定理”，用于计算弦长或直径；到九年级下册的《相似三角形》《解直角三角形》，所涉及的知识点是“相似三角形”和“三角函数”，用于计算线段长度和建立边角关系。可见，不同阶段它有不同的作用和价值。教师应不断总结归纳，让学生理解、领会这个基本图形的价值和用法。
新课本指出：数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培養学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。在几何入门教学过程中，教师就应着眼中考，多悟多思，不断改进教学方法，努力培养学生良好的解题习惯和逻辑思维能力，促进学生尽快入门，夯实基础，良性发展。相信经过三年的积累，学生的能力一定会上升到一个全新的高度。
参考文献：
[1] 万泽民.想学会学：回归小学数学课堂教学的原点[J].江苏教育研究，2013（29）：47-49.
[2] 于丽妮.浅谈matlab的绘图功能在高等数学教学中的应用[J].企业导报，2012（5）：211-212.
[3] 张玉芝.初中数学几何教学如何入门[J].教育教学论坛，2010（7）：68-68.
[4] 陈华琼.发展低段小学生空间观念的教学案例研究[D].杭州师范大学，2014.
[5] 韩春冬.浅谈中等职业教育立体几何教学[J].教育教学论坛，2014（51）：244-245.
[6] 吴德荣.在平面几何教学中加强基础培养能力[J].松辽学刊（自然科学版），1985（2）：49-51.
作者简介：杜强，福建省福州市闽江学院附属中学。
关键词：中考；规范化；逻辑推理能力；基本图形
图形与几何是初中数学的重要组成部分，在中考涉及的知识点中近乎占据半壁江山，涵盖空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量，图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影，平面图形基本性质的证明，运用坐标描述图形的位置和运动等方面的內容，旨在注重发展和培养学生的符号意识、空间观念、几何直观、推理能力等数学核心素养。
建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式，教学中教师应注重发展学生的符号感，培养学生正确认识、规范书写、科学使用符号的良好习惯；空间观念主要是指发展学生的图形感，培养和提高学生在解决几何问题中的识图与画图、析图与用图、变图与比图等能力；几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，培养学生数形结合的思想，形成“以形助数、以数解形”的数学素养；推理能力的发展贯穿在整个数学学习过程中，旨在培养学生合情推理和演绎推理的逻辑思维能力，清晰地表达自己的想法。
上述数学核心素养都是基于初中几何入门教学而形成的。因此，初中几何入门教学是整个几何教学的基石，对后续的教学有着深远影响。纵观近年数学中考，对几何入门的考查相当纯粹，比如解答题部分中的第一道几何题，动辄就是以教科书中的原题或只是略作改编后呈现。
例1 （2014年福州，第17题）如图1，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C。求证：∠A=∠D。（新人教版八年级上册P39练习第2题，原题）
例2 （2015年福州，第19题）如图2，∠1=∠2，∠3=∠4。求证：AC=AD。（新人教版八年级上册P44习题12.2第4题，原题）
例3 （2016年福州，第21题）一个平分角的仪器如图3所示，其中AB=AD，BC=DC。求证：∠BAC=∠DAC。（新人教版八年级上册P4812.3角平分线的性质思考，原题）
例4 （2017年福州，第18题）如图4，已知AC=DF，CB=FE，AD=BE，求证：∠C=∠F。（新人教版八年级上册P44习题12.2第9题，原题）
数学中考中即便是以原题呈现，学生的答题得分情况仍不尽如人意，存在着各式各样的问题。下面笔者以2016年福州市初中毕业班第二次质量检测第21题的学生答题情况为例，归纳整理其中的问题，为几何入门教学提供一些参考。此题改编自新人教版八年级上册第十二章第56页第9题，改编后难度下降。
例5 （新人教版八年级上P56复习题12第9题）如图5，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，
BE⊥CE，垂足分别是D，E。AD=2.5 cm，DE=1.7 cm。求BE的长。
（2016福州二检·21题）如图6，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E。求证： △ACD≌△CBE。
此8分，主要考查全等三角形的判定，涉及的相关知识点有角的表示（七上）、三角形内角和定理（八上）、直角三角形的两个锐角互余（八上）、同（等）角的余角相等（七上）及三角形全等的判定（八上）。经统计，此题全福州市考生的得分情况如上方统计图。
统计数据显示，此题平均分为5.62分，满分率仅45.38%，15.19%的考生得分为0，29.71%的考生得分在5分以下。随机抽查一些学生的答卷，除空白卷外，失分现象主要集中在以下五个方面：一是书写不规范。首先是角的表示不规范，只能用三个大写字母表示角时只用一个字母表示角。其次是用三角形内角和定理求角度时书写不规范，如∠B ∠BCE=△BCE-∠E。再是字母、全等、角等符号书写不规范，如把“∠”写成了“<”或“C”，把“≌”写成“≈”，把“∵”和“∴”写反了等。二是逻辑不清晰。证明思路不同寻常，条理混乱、繁琐，条件和结论不匹配，漏掉关键步骤，写了很大的篇幅也没有找准解决问题的关键。三是卷面不整洁。解答过程字迹潦草、涂改严重、排版混乱，把答案写到了图形上甚至超出了规定的答题区域。四是条件随意加。这类问题的学生主观意识太强，看完图形以后，凭主观意识随意添加条件，比如将度量的角度值或直接认为∠BCE=30°作为条件。五是判定不理解。对全等三角形的判定方法不甚理解，如把HL作为本题全等的判定方法，而且还是把一个角和一条边作为HL的判定条件。
二检如此，中考亦是如此。初三的学生面对几何入门的考查尚存诸多问题，作为教师必须深刻反思平时的教与学，尤其是几何入门的教与学。教师作为执教者和学生学习的引路人，在几何入门教学时就应十分重视这些问题的出现，及时纠正，为学生夯实基础。笔者认为，如果教师在“教”的这三个方面下足工夫，那么学生在“学”上一定会大有收获，快速做好几何入门，养成良好的解题习惯，提高逻辑推理能力。
一、 培养学生规范书写的习惯和能力。
规范是指按照既定标准、规范的要求进行操作，使某一行为或活动达到或超越规定的标准。在几何入门教学阶段，应该在哪些方面作规范化要求？
1. 符号书写规范化。数学符号包括数量（π）、运算（×）、关系（<）、性质（±）、省略（Rt△）等符号。在教学过程中，每当出现新的符号，教师应认真说明符号的含义，正确示范符号的规范书写（如“≌”不能写成“≈”），仔细区分与已学的哪些符号容易产生混淆（如“<”与“∠”，“△”与“A”）。教师可以把学生容易写混的符号放在一起让学生辨识、训练，还可以借鉴英语学科训练学生写英文字母的要求进行符号书写训练，保证书写规范。 2. 答题排版规范化。平时应要求学生养成只在指定区域答题的良好习惯，字迹工整，字号大小适宜；可根据不同题型将答题区域用分割线划分成2～4栏；在划分好的答题区域内逐题从左往右自上而下逐行书写，并留有一定的行间距；“∵”“∴”分行书写。
3. 添辅助线规范化。解几何问题经常需要添加辅助线，而辅助线的添法必须在解题过程中用文字进行准确表述。因此，很有必要对学生进行添辅助线的规范化训练。在教学时，每出现一种新的辅助线添加方法，教师就应向学生进行准确表述示范，并不断总结归纳常见添加辅助线的方法和准确表述，让学生熟能生巧。学生在刚接触添加辅助线时，会有表述不完整或不严谨现象，甚至凭主观意识让辅助线具有“一线多得”的功能（如图7，连接AC，使得AC平分∠BAD），此时，教师应及时给予纠正和规范，向学生说明错误缘由。
4. 教师示范规范化。学生的规范书写完全是基于教师的规范示范。在教学过程中，教师在课堂上说的每一句话，板书的每一个字和符号，都将直接影响学生对问题的准确表述。因此，教师的言语表达要精准，画图作图要严谨，几何语言、例题示范等板书要规范，给学生以标准、规范的示范。
例如，在学习对顶角相等时，这个结论的三种文字语言应如何板书才规范呢？
【文字语言】 【图形语言】
（两直线相交）对顶角相等
【符号语言】
（∵AB与CD交于点O）
∴∠AOC=∠BOD
“对顶角相等”这个结论虽然简单，但在初学时，教师应将这个结论的文字补齐（上述括号内画线部分）并工整板书，这样更容易让学生正确理解和使用这个结论。
另外，课堂上学生回答或板演时不规范的地方也要及时纠正；批改作业时，教师应对错误的地方进行规范批注，对学生的错误应进行归类、反思，究其错因。如下面划线部分是学生在初学全等时常见的一种错误，应及早防范，及时纠正。
∵△DBC≌△ECB
∴△DBC-△ABC=△ECB-△ABC
∴△DBA≌△ECA
5. PPT课件规范化。现在，多数教师都会使用PPT课件辅助教学，尤其是公开课。因此，PPT课件中呈现的内容是否规范直接影响教学效果。质量好的PPT课件应使用统一的母版、字体、字号、色彩等元素，排版工整，字号适当，色彩对比度好，有良好的视觉效果。相反，如果粗制滥造，尤其是字号和字体不统一，也会影响学生的规范书写。
二、 培养学生的逻辑推理能力。
很多学生解几何问题时没有解题思路，久而久之便有畏难情绪甚至失去信心。这是由于学生在几何入门时没有理解几何证明的原理，在几何语言的使用与互化、基本图形的认识与运用、证明的格式与条理等方面没有形成体系而导致的。因此，在几何入门教学中，教师应对学生加强这些方面的训练，从而培养学生的逻辑推理能力。
（一） 三种语言交互化
几何的三种语言是指文字语言、图形语言、符号语言。三者之间的互化是以图形为纽带，建立语言、符号之间的联系。对三种语言的能力要求概括起来为“三化”，即每个几何知识点的三种语言表述要规范化，相近几何知识点的三种语言表述要系统化，所有几何知识点的三种语言表述要网络化。如以中点为例（如下图），可以将与中点相关的知识点串联起来。
（二） 玩转图形意识化
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休。”数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。可见“数形结合”是十分重要的数学思想之一。作为几何入门阶段，教师应注重发展学生的图感，逐步培养学生识图与画图、析图与用图、变图与比图等能力，为学生逐渐形成数学结合思想提供有力支撑。
识图是分析图形的基础，识图训练应从简到繁、从易到难，重点训练识别重要的基本图形。这些图形通常是考试的重点，也是解题的关键点，教师应把它们从教科书中提炼出来作重点讲解和梳理。比如“K形图”“子母型直角三角形”“一线三等角”“双A型相似三角形”“手拉手全等三角形”等等。
画图是从几何语句到直观图形的操作过程，是分析、解决问题的基本环节。用尺规完成基本作图、根据题意画出图形是学好几何的基本技能。教学时，教师可只给出文字不给出图形，采用分步训练法提高學生的画图能力。
例6 已知线段AC=3.3 cm。
（1） 点B在AC的上方，线段AB⊥AC，AB=2 cm，连接BC；
（2） AE⊥BC，垂足为E；
（3） 线段BD平分∠ABC，分别交AE，AC于点F，D；
（4） 线段FG∥BC交AC于G；
（5） 线段FH∥AC交BC于H。
析图与用图是指遇到复杂图形式，学生能分析出图形的生成过程，将其拆解成熟悉的基本图形，再用基本图形作为突破口，化整为零，解决问题。（如图8）
变图是指由一个基本图形利用图形变换或改变属性等方式进行变化，得出一个系列图组，再对比变化前后的图形的异同点，从而起到做一题通一类的效果，不断积累解题经验，提高解题能力。（如图9）
学生的析图、用图、变图、比图等能力的形成是要有一个过程，但必须在几何入门教学时教师就要做好引导并时常给予渗透。做到了这一点，相信学生的几何解题能力会很出色。
（三） 解题析题模式化
虽题海无边，但解题有法。对于解几何题，其通法主要从三个方面入手：一是析文，仔细分析题意，找出由条件可直接得出的结论；二是观图，认真观察图形，拆解图形，找出其中的基本图形；三是思论，思考需求的结论，找出条件与其之间的关联。这三个方面的有机结合是解决几何问题的关键所在。在几何入门教学时，教师应注重培养学生这三个方面的能力。 对毫无解题经验的几何初学者来说，难以快速找到解题思路和形成解题过程，教师可以采用“阅读、排序、填空、说理、纠错”等形式呈现解题过程，帮助学生固化因果关系，强化逻辑推理意识，再按照“读题→分析→猜想→验证→解答→反思”的解题流程对学生进行模式化训练，让其形成良好的解题习惯。
采用模式化训练固然有效，但前提是必须让学生先认识模式的产生，这就涉及对学习平面几何的基本认识以及落实知识的基本方法与方式。比如，在定义或定理教学中，教师不仅仅要关注定义或定理的内容，更重要的是要深究其使用条件及价值，否则学生就难以形成解题思路。例如在与平行线有关的问题中，其关键条件是截线，只有找到截线才能建立起角之间的联系。因此，解决平行线问题最常见的解题思路就是找截线到角。
例7 如图，将△ABC的两个顶点分别放在矩形DEFG的两条边上，如果∠ECB=54°，∠B=80°，那么∠BAF= °。
三、 用好教科书中的例题和习题。
从历年的中考中发现，教科书中的例题和习题经常会以原题或略作改编作为考题出现。因此，用好教科书中的例题和习题是十分有必要的，除了夯实几何基础，还能让大部分学生在中考中轻松得分，何乐而不为呢？
（一） 用好例题的示范作用
教科书中的例题都是精挑细选，非常具有代表性的，对某个知识点有很好的巩固作用，对于几何初学者来说，更具有很好的示范作用。在教学过程中，教师应认真、详细板书例题的解题过程，用彩笔标记解题过程中的注意点或易错点，供学生阅读、参考，逐步培养学生正确的书写习惯。
（二） 深挖例题的导向作用
教科书中的例题或习题，通常还会被作为中考的母题来源。在教学过程中，除了讲解原题的解法之外，教师还应注重对其进行拓展或变式，充分挖掘原题的数学价值和导向作用。
例8 已知△ABC和△CEF是正三角形。Ⅰ.如图11～12，当点B，C，E在同一直线上时，（1）求∠MCN的度数；（2）求证：△AEC≌△BFC；（3）求∠AGB的度数；（4）求证：CM=CN；（5）求证：△MCN是等边三角形；（6）若CH⊥BF，CK⊥AE，垂足分别是H，K，则请判断下列三个结论：①CH=CK；②GC平分∠BGE；③△HCK是等边三角形，哪些是正确的？并说明理由；（7）若点H，K分别是BF，AE的中点。求证：①CH=CK；②△HCK是等边三角形；（8）若CH，CK分别平分∠BCF，∠ACE。求证：①CH=CK；②△HCK是等边三角形。Ⅱ.当点B，C，E不在同一直线上时，以上结论中哪些依然成立？请说明理由。
（三） 融合基本图形的体系作用
在几何学习的不同阶段，同一个基本图形将体现不同的数学价值。在教学过程中，教师应针对不同的学习阶段，与学生一起总结归纳基本图形的用法，并与已学的用法形成体系，这对不断提高学生的解题、析题能力有很大的帮助。
例如，如图13，子母型直角三角形，这是很重要的一个基本图形。它最早出现在七年级下册的《三角形》，所涉及的知识点是“直角三角形两锐角互余”，用于计算角度；到八年级下册的《勾股定理》，所涉及的知识点是“勾股定理”，用于计算线段长度；到九年级上册的《圆》，所涉及的知识点是“圆周角定理”和“垂径定理”，用于计算弦长或直径；到九年级下册的《相似三角形》《解直角三角形》，所涉及的知识点是“相似三角形”和“三角函数”，用于计算线段长度和建立边角关系。可见，不同阶段它有不同的作用和价值。教师应不断总结归纳，让学生理解、领会这个基本图形的价值和用法。
新课本指出：数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培養学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。在几何入门教学过程中，教师就应着眼中考，多悟多思，不断改进教学方法，努力培养学生良好的解题习惯和逻辑思维能力，促进学生尽快入门，夯实基础，良性发展。相信经过三年的积累，学生的能力一定会上升到一个全新的高度。
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作者简介：杜强，福建省福州市闽江学院附属中学。