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摘 要： 线性代数是一门重要的公共基础课程，作者结合线性代数课程的特点与课堂教学实际经验，总结了在线性代数教学中的体会。
关键词： 线性代数 教学方法 教学体会
线性代数是大学数学最重要的基础课之一。它是研究行列式、矩阵理论、线性方程组、向量空间和二次型的一门学科，在自然科学、社会科学、工程技术等领域中都有重要应用。学好这门课程，对于加强学生数学的抽象思维训练，逻辑表达和分析问题及解决问题的能力的提高是非常有用的。但是线性代数的内容比较抽象，如何使学生更好地掌握这门课程，提高教学质量，是值得研究的问题。以下是我在教学实践中的心得与体会。
一、具体内容的由浅入深和总体内容的融会贯通
我们在实际教学中，常常出现这样的现象，教师在上面讲得满头大汗，学生在下面听得云里雾里乃至因跟不上进度而走神，或者跟上了进度却因定义定理推论过多，在做题时仍然比较茫然，不知该从哪个角度思考问题。久而久之，失败的经历多了，学生就失去了学习这门课程的兴趣和动力。为了避免这种现象，老师应该根据不同的教学内容选择恰当的教学方法。以“线性方程组的解”这一节为例，一上来就是定理及其证明，一般讲完定理和证明这些抽象的内容后，学生已经有些晕了，再讲例题，必然积极性不高，学习效果不好。在实际教学中，本着从具体到抽象、由浅入深的原则，我们可以对教学内容做适当调整。可以先举三个具体的例子说明定理的三种情况，在学生有了直观了解后，再介绍定理内容及其证明，进一步让学生有严密系统的认知。最后给出一些例子，让学生自己动手，加深对定理的理解，掌握如何运用定理内容做题。
线性代数课程中各章节的内容并不是各自孤立的，而是相互联系、相互渗透的，梳理知识点可以把各个知识点串联起来，使得知识更加条理化和系统化，有利于学生更好地掌握知识。应指导学生在学习过程中经常将前后知识联系起来，这样等课程结束后就能形成一个清晰的知识脉络，更有利于知识的掌握。例如在讲第四章第二节“向量组的线性相关性”这一节时，我们应该先回顾齐次线性方程组有非零解和只有零解的充要条件，然后在讲完线性相关和线性无关的定义时，给学生一定的时间自己考虑这两个知识点有没有什么关系，然后引导学生自己得出线性相关和线性无关的充要条件的定理。通过这个过程，学生从知识的接受者转变为探索者，提高学习积极性和主动性及学习能力，并且将前后章节内容紧密联系起来。
二、课上多做练习，让学生有自己思考的时间，积极参与到课堂教学中
学生是课堂的主体，教师起主导作用，因此教师讲课时不能自说自话地将学生孤立起来，而是要让学生参与课堂教学，还要巧妙穿插课堂练习，让学生积极参与到课堂练习中。
1.讲完新内容做练习。每节课讲完新内容，尤其是重要章节和重要知识点后，都要多做练习，加深学生对新内容的记忆和理解。例如矩阵的初等行变换这种重要运算，在后面求矩阵的秩，向量组的秩，逆矩阵，以及求解方程组都要用到，所以讲完初等行变换，多让学生做课堂练习，让学生自己拿起笔做一次初等行变换，感受一下到底是如何运作的。可是选什么样的题目作为课堂练习呢？我们可以把后面的知识点具体应用的例子先拿出来让学生练。这样不仅练习了新学习的内容，而且为学习后面的内容做了铺垫。比如讲逆矩阵这节一定有求逆矩阵的例子，我们可以把这个矩阵让学生做初等行变换练习，也可以用向量组的秩这一节的例子做课堂练习。这样既可以省去教师找例子的时间，而且在讲后面内容时，由于这些例子前面已做过练习，因而可以节省授课时间，用于做更多的课堂练习。
2.将后面章节要用的知识点做练习。有些内容的证明中用到一些知识点，在前面的章节中没有讲到，但在证明中直接用了，那我们可以把这些知识点在前面章节讲完新内容时做练习，这样在讲证明时可以保证证明过程的连贯性。
例1.我们可以在相似矩阵这一节，讲矩阵A与B相似时，补充A-λE与B-λE也相似这个结论，让学生做课堂练习。因为在下一节对称矩阵的对角化这一节，有个推论内容为：对称矩阵的k重特征值恰好有k个线性无关的特征向量。证明这个推论时会用到“若A与Λ相似，则A-λE与Λ-λE也相似”。加了这个课堂练习，一方面可以加深学生对于两个矩阵相似的定义，另一方面在后一节讲推论的证明时比较轻松连贯。
例2.我们可以在向量组的线性相关性这一节，让学生证明：线性无关的向量组增加相同位置分量后还是一个线性无关的向量组；线性相关的向量组删减相同位置分量后还是一个线性相关的向量组。这样一方面可以加深学生对线性相关和线性无关的判别，另一方面为后面基础解系的讲解做铺垫，因为后面会用到线性无关的向量组增加相同位置分量后还是一个线性无关的向量组。
做课堂练习，一方面让学生有独立思考的时间，帮助学生吸收理解课堂上所学的知识，另一方面让学生真正会用这些知识，提高和增强学生的学习兴趣和信心。值得注意的是，老师要起主导作用，一方面要选一些尽可能对后面学习有帮助的例子，另一方面不能让课堂练习影响教学进度。
三、注重答疑与归纳总结
1.注重答疑。教师通过批改作业了解学生的学习情况，并且在课堂上留一定的时间讲解作业中出现的问题及解答学生的提问。这样不仅可以帮助学生解决学习中的疑惑问题，进一步理解和掌握课堂教学内容，还有助于教师自身发现教学过程中存在的问题，及时调整和改进教学。所以答疑非常重要，教师一定要注重答疑，并且及时答疑，这样有助于学生及时解决问题，与老师的教学进度同步，从而保持学习这门课的兴趣和信心。
2.学习过程中的归纳总结非常重要。任何课程的学习都是温故而知新的，因此讲完一章后，最好加一个本章小结，给学生一个本章的网络结构图，网络结构图要求一目了然，精简明晰，能体现一章的主体结构，对照这个图表，运用发散性思维启发学生，看他们能想起多少相关的知识。这有助于学生从整体上把握这一章的脉络，并且在一起回顾相关内容时，引导学生看他们能想起多少他们做过的与此相关的习题。这个归纳总结的过程不仅有助于学生做这一章的综合习题，更有助于引入下一章的内容，从而激发学生的学习兴趣。
教师在讲课过程中应该总结一些相似的或容易混淆的内容，将它们列成表格，方便学生记忆。例如我们讲过的一些特殊矩阵，对称矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，相似矩阵，合同矩阵，正定矩阵等，可以把它们总结在一张表里，和学生一起列出它们的定义、性质及相关的典型习题。又比如最大无关组，基础解系，基这三个定义，我们也可以将它们列成一张表，说明基础解系和基是特殊的向量组的最大无关组，加深学生对这些定义的理解。对于一些不同章节介绍的等价的性质，比如矩阵可逆，矩阵的行列式不等于零，矩阵与单位矩阵等价，满秩矩阵，等等，这些都是等价的性质，教师可以列成一张表，同时将不可逆矩阵的类似的一些等价性质列在同一张表里，让学生一目了然。
教师在讲解某些新知识点时，可以补充总结这个新知识点具有的某些之前章节的性质。例如在相似矩阵这一节，在讲“若矩阵A与B相似，则A与B的特征值相同”这个定理时，我们可以补充结论：矩阵A与B相似；A与B等价；A与B的秩相同；A与B的行列式相同。做这样的总结后，不仅可以加深学生对矩阵相似这个新知识点的理解，帮助学生回忆之前学过的知识点，而且有助于提高学生分析和解答综合题的能力。
任何授课方式的探索，目的都只有一个，就是让学生更好地掌握所学知识并学以致用。时代在飞速发展，对人才的要求越来越高，线性代数是高等院校中理工科和经管类等学生必修的一门基础性课程，更是他们学好本专业后继课程的前提，这就要求教师能够与时俱进，多用心多思考，不断探讨适合学生的授课方法，学无止境，教学相长。
参考文献：
[1]同济大学数学系编著.工程数学线性代数[M].北京：高等教育出版社，2007，（第5版）.
[2]王跃恒，李应求.关于以学生为中心的线性代数教学研究[J].中国大学教学，2011（8）：59-61.
[3]朱永婷.线性代数教学的一些思考[J].科技创新导报，2011（3）：176-178.
关键词： 线性代数 教学方法 教学体会
线性代数是大学数学最重要的基础课之一。它是研究行列式、矩阵理论、线性方程组、向量空间和二次型的一门学科，在自然科学、社会科学、工程技术等领域中都有重要应用。学好这门课程，对于加强学生数学的抽象思维训练，逻辑表达和分析问题及解决问题的能力的提高是非常有用的。但是线性代数的内容比较抽象，如何使学生更好地掌握这门课程，提高教学质量，是值得研究的问题。以下是我在教学实践中的心得与体会。
一、具体内容的由浅入深和总体内容的融会贯通
我们在实际教学中，常常出现这样的现象，教师在上面讲得满头大汗，学生在下面听得云里雾里乃至因跟不上进度而走神，或者跟上了进度却因定义定理推论过多，在做题时仍然比较茫然，不知该从哪个角度思考问题。久而久之，失败的经历多了，学生就失去了学习这门课程的兴趣和动力。为了避免这种现象，老师应该根据不同的教学内容选择恰当的教学方法。以“线性方程组的解”这一节为例，一上来就是定理及其证明，一般讲完定理和证明这些抽象的内容后，学生已经有些晕了，再讲例题，必然积极性不高，学习效果不好。在实际教学中，本着从具体到抽象、由浅入深的原则，我们可以对教学内容做适当调整。可以先举三个具体的例子说明定理的三种情况，在学生有了直观了解后，再介绍定理内容及其证明，进一步让学生有严密系统的认知。最后给出一些例子，让学生自己动手，加深对定理的理解，掌握如何运用定理内容做题。
线性代数课程中各章节的内容并不是各自孤立的，而是相互联系、相互渗透的，梳理知识点可以把各个知识点串联起来，使得知识更加条理化和系统化，有利于学生更好地掌握知识。应指导学生在学习过程中经常将前后知识联系起来，这样等课程结束后就能形成一个清晰的知识脉络，更有利于知识的掌握。例如在讲第四章第二节“向量组的线性相关性”这一节时，我们应该先回顾齐次线性方程组有非零解和只有零解的充要条件，然后在讲完线性相关和线性无关的定义时，给学生一定的时间自己考虑这两个知识点有没有什么关系，然后引导学生自己得出线性相关和线性无关的充要条件的定理。通过这个过程，学生从知识的接受者转变为探索者，提高学习积极性和主动性及学习能力，并且将前后章节内容紧密联系起来。
二、课上多做练习，让学生有自己思考的时间，积极参与到课堂教学中
学生是课堂的主体，教师起主导作用，因此教师讲课时不能自说自话地将学生孤立起来，而是要让学生参与课堂教学，还要巧妙穿插课堂练习，让学生积极参与到课堂练习中。
1.讲完新内容做练习。每节课讲完新内容，尤其是重要章节和重要知识点后，都要多做练习，加深学生对新内容的记忆和理解。例如矩阵的初等行变换这种重要运算，在后面求矩阵的秩，向量组的秩，逆矩阵，以及求解方程组都要用到，所以讲完初等行变换，多让学生做课堂练习，让学生自己拿起笔做一次初等行变换，感受一下到底是如何运作的。可是选什么样的题目作为课堂练习呢？我们可以把后面的知识点具体应用的例子先拿出来让学生练。这样不仅练习了新学习的内容，而且为学习后面的内容做了铺垫。比如讲逆矩阵这节一定有求逆矩阵的例子，我们可以把这个矩阵让学生做初等行变换练习，也可以用向量组的秩这一节的例子做课堂练习。这样既可以省去教师找例子的时间，而且在讲后面内容时，由于这些例子前面已做过练习，因而可以节省授课时间，用于做更多的课堂练习。
2.将后面章节要用的知识点做练习。有些内容的证明中用到一些知识点，在前面的章节中没有讲到，但在证明中直接用了，那我们可以把这些知识点在前面章节讲完新内容时做练习，这样在讲证明时可以保证证明过程的连贯性。
例1.我们可以在相似矩阵这一节，讲矩阵A与B相似时，补充A-λE与B-λE也相似这个结论，让学生做课堂练习。因为在下一节对称矩阵的对角化这一节，有个推论内容为：对称矩阵的k重特征值恰好有k个线性无关的特征向量。证明这个推论时会用到“若A与Λ相似，则A-λE与Λ-λE也相似”。加了这个课堂练习，一方面可以加深学生对于两个矩阵相似的定义，另一方面在后一节讲推论的证明时比较轻松连贯。
例2.我们可以在向量组的线性相关性这一节，让学生证明：线性无关的向量组增加相同位置分量后还是一个线性无关的向量组；线性相关的向量组删减相同位置分量后还是一个线性相关的向量组。这样一方面可以加深学生对线性相关和线性无关的判别，另一方面为后面基础解系的讲解做铺垫，因为后面会用到线性无关的向量组增加相同位置分量后还是一个线性无关的向量组。
做课堂练习，一方面让学生有独立思考的时间，帮助学生吸收理解课堂上所学的知识，另一方面让学生真正会用这些知识，提高和增强学生的学习兴趣和信心。值得注意的是，老师要起主导作用，一方面要选一些尽可能对后面学习有帮助的例子，另一方面不能让课堂练习影响教学进度。
三、注重答疑与归纳总结
1.注重答疑。教师通过批改作业了解学生的学习情况，并且在课堂上留一定的时间讲解作业中出现的问题及解答学生的提问。这样不仅可以帮助学生解决学习中的疑惑问题，进一步理解和掌握课堂教学内容，还有助于教师自身发现教学过程中存在的问题，及时调整和改进教学。所以答疑非常重要，教师一定要注重答疑，并且及时答疑，这样有助于学生及时解决问题，与老师的教学进度同步，从而保持学习这门课的兴趣和信心。
2.学习过程中的归纳总结非常重要。任何课程的学习都是温故而知新的，因此讲完一章后，最好加一个本章小结，给学生一个本章的网络结构图，网络结构图要求一目了然，精简明晰，能体现一章的主体结构，对照这个图表，运用发散性思维启发学生，看他们能想起多少相关的知识。这有助于学生从整体上把握这一章的脉络，并且在一起回顾相关内容时，引导学生看他们能想起多少他们做过的与此相关的习题。这个归纳总结的过程不仅有助于学生做这一章的综合习题，更有助于引入下一章的内容，从而激发学生的学习兴趣。
教师在讲课过程中应该总结一些相似的或容易混淆的内容，将它们列成表格，方便学生记忆。例如我们讲过的一些特殊矩阵，对称矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，相似矩阵，合同矩阵，正定矩阵等，可以把它们总结在一张表里，和学生一起列出它们的定义、性质及相关的典型习题。又比如最大无关组，基础解系，基这三个定义，我们也可以将它们列成一张表，说明基础解系和基是特殊的向量组的最大无关组，加深学生对这些定义的理解。对于一些不同章节介绍的等价的性质，比如矩阵可逆，矩阵的行列式不等于零，矩阵与单位矩阵等价，满秩矩阵，等等，这些都是等价的性质，教师可以列成一张表，同时将不可逆矩阵的类似的一些等价性质列在同一张表里，让学生一目了然。
教师在讲解某些新知识点时，可以补充总结这个新知识点具有的某些之前章节的性质。例如在相似矩阵这一节，在讲“若矩阵A与B相似，则A与B的特征值相同”这个定理时，我们可以补充结论：矩阵A与B相似；A与B等价；A与B的秩相同；A与B的行列式相同。做这样的总结后，不仅可以加深学生对矩阵相似这个新知识点的理解，帮助学生回忆之前学过的知识点，而且有助于提高学生分析和解答综合题的能力。
任何授课方式的探索，目的都只有一个，就是让学生更好地掌握所学知识并学以致用。时代在飞速发展，对人才的要求越来越高，线性代数是高等院校中理工科和经管类等学生必修的一门基础性课程，更是他们学好本专业后继课程的前提，这就要求教师能够与时俱进，多用心多思考，不断探讨适合学生的授课方法，学无止境，教学相长。
参考文献：
[1]同济大学数学系编著.工程数学线性代数[M].北京：高等教育出版社，2007，（第5版）.
[2]王跃恒，李应求.关于以学生为中心的线性代数教学研究[J].中国大学教学，2011（8）：59-61.
[3]朱永婷.线性代数教学的一些思考[J].科技创新导报，2011（3）：176-178.