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【内容摘要】本文通过例题讲解，让学生学会《一次函数》中求点坐标的四种常见方法：作垂线求点法、单线求点法、双线求点法和设点法，为解反比例函数，二次函数中类似问题打下坚实的基础。通过一题多解，试让学生通过探索，思考，比较，灵活选用适当的方法求解，激发学生学习兴趣，提升学生解题的灵活度和综合解题能力。
【关键词】求点的坐标 作垂线求点法 单线求点法 双线求点法和设点法
《一次函数》中求点的坐标是初中数学的基础知识，是学生必须掌握的基本技能。由点的坐标可求图形的面积、周长，可求直线的解析式等等，故求点的坐标也是本章的重点。但是由于求点坐标的题目变化多，技巧多，题型多，故有的学生常常学完《一次函数》后，仍应用生涩，对如何求“点的坐标”望而生畏，故求点的坐标也是本章的难点。下面举例说明此类题目的求解方法，希望能让学生系统理解，从而提升学生的解题能力，并为今后解决反比例函数和二次函数中此类题目打下坚实的基础。
方法一：垂线段法
根据点到x（y）轴的距离等于该点的纵坐标（横坐标）的绝对值，就可以转化为该点的坐标。为了好称呼，可叫这种方法为“作垂线求点法”。这是最常规的求点方法之一。即把求点的坐标先转化为求线段的长度，故这种求点方法渗透了转化思想。以下题为例进行说明。
例1：一次函数y=43x 4的图像分别交x轴、y轴于点A、B，在x轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C有 个，C点的坐标为 .
【思路探寻】：本题渗透了分类思想和数形结合思想。先根据等腰三角形这一条件，可以分为3大类：第一类：AB=AC;第二类：BA=BC;第三类：CA=CB;然后确定图形，在x轴上大体确定点C的位置。前面两类都可以轻易求得相关线段的长度，轻松解决，但第三类求线段的长度，却不能直接用几何方法求得，而是设x列方程的代数方法求得。体现了求线段的方法的多样性，提升学生的应变能力。
变式1：把“等腰三角形”改为“直角三角形”呢？
变式2：把“等腰三角形”改为△ABC的面积=4，求点C的坐标。
【归纳点评】这道题让学生体会到：求点的坐标，首先能“定图”先 “定图”，图形很直观，通过数形结合，学生可以变抽象为具体，降低解题难度。接着优先考虑“作垂线求点法”三部曲求点。同时，通过变式题，学生能及时消化、及时巩固，提升了学生的解题能力和灵活应用能力。
方法二：单线求点法
已知一个点的横坐标或纵坐标，且该点所在的直线的函数解析式已知时，可以把已知坐标代入解析式求另一半坐标。由于只需知道该点所在的一条直线的解析式即可，故称这种方法为“单线求点法”。同学们喜欢叫“代一半求一半”。
例2：已知直线y=2x-1上有一点A，到x轴的距离为2，求点A的坐标。（由条件可直接求的一半的坐标，代入直线的解析式，求另一半）
【思路探寻】这道题属于易错题，根据点到x轴的距离=点的纵坐标的绝对值，求得yA=±2，再根据点A在直线y=2x-1上，可代入yA求得XA.很多学生因为没有看懂“距离”的含义，没有分类导致失误。这道题还可以改编为下面两道变式题。从而开拓学生眼界，提升学生解题能力。
变式1：把“x轴”改为“y轴”呢？变式2：把“x轴”改为“坐标轴”呢？通过变式题让学生得到充分的思考，能及时巩固。
【思路探寻】“单线求点法”求点坐标的步骤可归纳为：第一步：根据条件求得点的一半坐标;第二步：求得点所在直线的解析式;第三步：代一半坐标求一半坐标。
方法三：双线求点法
如果所求点为两条直线的交点，两直线的解析式已知或能求得，则可以利用直线的交点坐标即方程组的解，先解方程组，再转化为点的坐标从而求得交点的坐标。
例3：如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（-4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，E的坐标是（ ）
【思路探寻】（1）确定点的位置：因为定点A，D都在动点E运动的直线y轴上，所以要作D点关于y轴的对称点D1，连接AD1，与y轴的交点就是E，此时，AE DE最小;（2）求点的坐标：因为点E是直线AD1和直线y轴的交点，所以可用双线法求交点的坐标。
【归纳点评】双线法求点的坐标的步骤可归纳为：第一步：确认是两条直线的交点;第二步：求得两条直线的解析式;第三步：解方程组求交点的坐标。
方法四：设点法
当我们发现所求点用上面的三种方法都无法解决时，可以考虑先设点的一个坐标，然后看点在哪条已知直线上，代入表示出点的另一半坐标;接着，细心查找等量关系，利用代数方法（列方程）求解。
例4：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y=34x与一次函数y=-x 7的图像交于点A.
（1）求点A的坐标;
（2）设x轴上一点P（a，0），过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交y=34x和y=-x 7的图像于点B、C，连接OC，若BC=75OA求△OBC的面积。
变式：把“垂线位于点A的右侧”这一条件去掉，仍求点P的坐标呢？
【解析】本题构造出直角三角形是解答此题的关键.（1）联立两一次函数的解析式求出 x、y 的值即可得出 A 点坐标;过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 D，在 Rt△OAD 中根据勾股定理求出 OA 的长，故可得出 BC 的长， 根据 P（a，0）可用 a表示出 B、C 的坐标，由BC=75OA可得出a的值即可得出结论;变式题加深了难度，垂线可以在交点A的左右两侧，所以本题可以分类。渗透分类思想、拓展学生思维的同时可及时巩固求点的方法。
【归纳】设点法求点的坐标步骤：1设（设点的一个坐標）;2列（找到等量关系列方程）;3解（解方程）;4答（答出点的坐标）。
总之，求点的坐标常用方法有四种：垂线段法;单线求点法;双线求点法和设点法。教学中，综合考虑上面四种常见求点的方法，再根据题目的特点，选用恰当的方法解题，可以事半功倍。同时，能提升学生综合应用能力，以及快速反应能力、综合解题能力。学生通过系统科学的练习，提高求点、求线段、求面积的灵活性和技能，进一步渗透数形结合的思想，提升学生的逻辑思维能力、空间想象能力和合情推理能力。通过本文的学习，学生在今后的《反比例函数》，《二次函数》学习中可以类比对比学习，利用化归思想可以使学习掌握的更快更好。
（作者单位：江苏省昆山市第二中学）
【关键词】求点的坐标 作垂线求点法 单线求点法 双线求点法和设点法
《一次函数》中求点的坐标是初中数学的基础知识，是学生必须掌握的基本技能。由点的坐标可求图形的面积、周长，可求直线的解析式等等，故求点的坐标也是本章的重点。但是由于求点坐标的题目变化多，技巧多，题型多，故有的学生常常学完《一次函数》后，仍应用生涩，对如何求“点的坐标”望而生畏，故求点的坐标也是本章的难点。下面举例说明此类题目的求解方法，希望能让学生系统理解，从而提升学生的解题能力，并为今后解决反比例函数和二次函数中此类题目打下坚实的基础。
方法一：垂线段法
根据点到x（y）轴的距离等于该点的纵坐标（横坐标）的绝对值，就可以转化为该点的坐标。为了好称呼，可叫这种方法为“作垂线求点法”。这是最常规的求点方法之一。即把求点的坐标先转化为求线段的长度，故这种求点方法渗透了转化思想。以下题为例进行说明。
例1：一次函数y=43x 4的图像分别交x轴、y轴于点A、B，在x轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C有 个，C点的坐标为 .
【思路探寻】：本题渗透了分类思想和数形结合思想。先根据等腰三角形这一条件，可以分为3大类：第一类：AB=AC;第二类：BA=BC;第三类：CA=CB;然后确定图形，在x轴上大体确定点C的位置。前面两类都可以轻易求得相关线段的长度，轻松解决，但第三类求线段的长度，却不能直接用几何方法求得，而是设x列方程的代数方法求得。体现了求线段的方法的多样性，提升学生的应变能力。
变式1：把“等腰三角形”改为“直角三角形”呢？
变式2：把“等腰三角形”改为△ABC的面积=4，求点C的坐标。
【归纳点评】这道题让学生体会到：求点的坐标，首先能“定图”先 “定图”，图形很直观，通过数形结合，学生可以变抽象为具体，降低解题难度。接着优先考虑“作垂线求点法”三部曲求点。同时，通过变式题，学生能及时消化、及时巩固，提升了学生的解题能力和灵活应用能力。
方法二：单线求点法
已知一个点的横坐标或纵坐标，且该点所在的直线的函数解析式已知时，可以把已知坐标代入解析式求另一半坐标。由于只需知道该点所在的一条直线的解析式即可，故称这种方法为“单线求点法”。同学们喜欢叫“代一半求一半”。
例2：已知直线y=2x-1上有一点A，到x轴的距离为2，求点A的坐标。（由条件可直接求的一半的坐标，代入直线的解析式，求另一半）
【思路探寻】这道题属于易错题，根据点到x轴的距离=点的纵坐标的绝对值，求得yA=±2，再根据点A在直线y=2x-1上，可代入yA求得XA.很多学生因为没有看懂“距离”的含义，没有分类导致失误。这道题还可以改编为下面两道变式题。从而开拓学生眼界，提升学生解题能力。
变式1：把“x轴”改为“y轴”呢？变式2：把“x轴”改为“坐标轴”呢？通过变式题让学生得到充分的思考，能及时巩固。
【思路探寻】“单线求点法”求点坐标的步骤可归纳为：第一步：根据条件求得点的一半坐标;第二步：求得点所在直线的解析式;第三步：代一半坐标求一半坐标。
方法三：双线求点法
如果所求点为两条直线的交点，两直线的解析式已知或能求得，则可以利用直线的交点坐标即方程组的解，先解方程组，再转化为点的坐标从而求得交点的坐标。
例3：如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（-4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，E的坐标是（ ）
【思路探寻】（1）确定点的位置：因为定点A，D都在动点E运动的直线y轴上，所以要作D点关于y轴的对称点D1，连接AD1，与y轴的交点就是E，此时，AE DE最小;（2）求点的坐标：因为点E是直线AD1和直线y轴的交点，所以可用双线法求交点的坐标。
【归纳点评】双线法求点的坐标的步骤可归纳为：第一步：确认是两条直线的交点;第二步：求得两条直线的解析式;第三步：解方程组求交点的坐标。
方法四：设点法
当我们发现所求点用上面的三种方法都无法解决时，可以考虑先设点的一个坐标，然后看点在哪条已知直线上，代入表示出点的另一半坐标;接着，细心查找等量关系，利用代数方法（列方程）求解。
例4：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y=34x与一次函数y=-x 7的图像交于点A.
（1）求点A的坐标;
（2）设x轴上一点P（a，0），过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交y=34x和y=-x 7的图像于点B、C，连接OC，若BC=75OA求△OBC的面积。
变式：把“垂线位于点A的右侧”这一条件去掉，仍求点P的坐标呢？
【解析】本题构造出直角三角形是解答此题的关键.（1）联立两一次函数的解析式求出 x、y 的值即可得出 A 点坐标;过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 D，在 Rt△OAD 中根据勾股定理求出 OA 的长，故可得出 BC 的长， 根据 P（a，0）可用 a表示出 B、C 的坐标，由BC=75OA可得出a的值即可得出结论;变式题加深了难度，垂线可以在交点A的左右两侧，所以本题可以分类。渗透分类思想、拓展学生思维的同时可及时巩固求点的方法。
【归纳】设点法求点的坐标步骤：1设（设点的一个坐標）;2列（找到等量关系列方程）;3解（解方程）;4答（答出点的坐标）。
总之，求点的坐标常用方法有四种：垂线段法;单线求点法;双线求点法和设点法。教学中，综合考虑上面四种常见求点的方法，再根据题目的特点，选用恰当的方法解题，可以事半功倍。同时，能提升学生综合应用能力，以及快速反应能力、综合解题能力。学生通过系统科学的练习，提高求点、求线段、求面积的灵活性和技能，进一步渗透数形结合的思想，提升学生的逻辑思维能力、空间想象能力和合情推理能力。通过本文的学习，学生在今后的《反比例函数》，《二次函数》学习中可以类比对比学习，利用化归思想可以使学习掌握的更快更好。
（作者单位：江苏省昆山市第二中学）