有趣的“翻杯问题”

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  例1有7个杯子全部都口朝下放在桌上,如果小明每次将其中的任意6个杯子各翻动一次,不停地翻若干回后,会出现7个杯子杯口全部朝上的情况吗?
  首先,从1只杯子入手。显然,把1只杯口朝下的杯子翻转成杯口朝上,必须把它翻动1次或3次或5次……也就是奇数次。要使7个杯子全部杯口朝上,则翻动次数的总和是7个奇数相加,结果必为奇数。
  小明每次将其中的任意6个杯子各翻动一次,即每回翻的次数是6,所以无论翻多少回,总数都是6的倍数,结果必为偶数。
  由此可以推断,小明这样无论翻多少回,都不可能使杯口全部朝上。
  例2 桌面上有10个茶杯,杯口朝上,每次将其中7个茶杯倒过来,至少经过几次操作,才能使所有的茶杯杯口朝下?
  要使杯口全部朝下,每个茶杯一定是被翻了奇数次,要使操作的次数最少,就要使每个茶杯被翻的次数尽可能少。假设每个茶杯被翻了1次,10个茶杯共被翻了10次,但10不能被7整除,所以“每次将其中7个茶杯倒过来”无法办到。假如将两个茶杯被翻的次数增加到3次(如下图),则10个茶杯共被翻了10+2×2=14(次),需要经过14÷7=2(次)操作来完成,但
  每个茶杯被翻的次数:3 3 1 1 1 1 1 1 1 1
            ↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
  前两个茶杯每个各自要被翻3次,这两者矛盾,也是无法办到的。
  再假设将后7个茶杯被翻的次数增加到3,则10个茶杯共被翻了14+7×2=28(次),需要经过28÷7=4(次)操作来完成,而每个茶杯最多只被翻过3次。下表就是操作的具体过程:
  


  由此,我们可以得到“翻杯问题”的一般规律:
  (1)每个茶杯被翻动的次数必须是奇数次。(2)每个茶杯被翻动的次数应尽可能少,同时应尽可能接近。(3)每个茶杯被翻动的次数总和必须能被每次翻动的杯子数整除,除得的商不得小于翻动最多杯子的翻动次数。(4)每次翻动总是优先安排需翻动最多次数的杯子。
  

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