函数、导数和不等式部分内容在高考中的考查可以说是全方位的，从考查要求来讲，它不仅有基础知识、基本技能的考查，更有数学思想、数学本质的考查，从考查内容来看，它不仅有函数知识内部的显性考查，更有与其他主干知识相结合的隐性考查.合与分、动与静、直与曲、有限与无限、常量与变量及函数、局部与整体等是数学中分析与研究的常用辩证观，从这些观点出发，给高考压轴题的研究带来许多启迪.正因为其涉及内容较广、表现形式多样、思维层次较高，因而，倍受命题者的青睐.下面我们谈一谈高考中一类函数、导数与不等式综合问题的新解法.
　　首先，介绍一条引理：
　　引理函数y=f（x）及其导函数y=f′（x）在定义域D内可导，且y=f″（x）>0（或f″（x）<0）在定义域D内恒成立，y=g（x）=kx m为曲线上任意切线，则f（x）≥g（x）或f（x）≤g（x））恒成立，有且仅有一个x0∈D使得f（x0）=g（x0）.
　　下面看看其应用：
　　例1（2013年全国新课标Ⅱ卷21题）f（x）=ex-ln（x m）.当m≤2，证明f（x）>0.
　　证明y=ex在（0，1）处切线方程为y=x 1，y=ln（x 2）在（-1，0）处切线方程为y=x 1，即y=x 1为y=ex与y=ln（x 2）的公切线，而y=ex为下凸函数，y=ln（x 2）为上凸函数，故ex≥x 1≥ln（x 2）恒成立，而对于y=ln（x m），当m≤2，ln（x m）≤ln（x 2）恒成立，故当m≤2，ex-ln（x m）≥0恒成立.
　　例2（2013年全国新课标卷21题）f（x）=f′（1）ex-1-f（0）x 112x2.① 求f（x）解析式和單调区间；② f（x）=112x2 ax b，求（a 1）b的最大值.
　　解① 求得f（x）=ex-x 112x2，② 由① ex≥（a 1）x b.设g（x）=exy=（a 1）x b，要使ex≥（a 1）x b在实数集上恒成立，只需y=（a 1）x b是曲线g（x）=ex的切线，设切点（x0，ex0），则g（x）=ex在（x0，ex0）处切线方程为y=ex0（x-x0） ex0.故a 1=ex0，b=ex0（1-x0），故（a 1）b=e2x0（1-x0）.设h（x0）=e2x0（1-x0），则h′（x0）=e2x0（1-2x0）.令h′（x0）=0，得x0=112，所以h（x0）在-∞，112为单调增函数，在112， ∞为单调减函数，故h（x0）max=e12，即当a=-1 e112，b=112e112时，（a 1）b最大值为e12.
　　例3（2010年全国Ⅱ卷第22题）设函数f（x）=1-e-x.
　　（Ⅰ）证明当x>-1时，f（x）≥x1x 1；
　　（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤x1ax 1，求a的取值范围.
　　（Ⅰ）证明为了证当x>-1时，f（x）≥x1x 1，只需证1-e-x≥x1x 1，即证1-x1x 1≥e-x.即证ex≥x 1，而f（x）=ex为凹函数且g（x）=x 1为f（x）=ex在（0，1）处切线，显然ex≥x 1，故当x>-1时，f（x）≥x1x 1.
　　（Ⅱ）解由题设，问题转化为当x≥0时，1-e-x-x1ax 1≤0，求a的取值范围.令g（x）=1-e-x-x1ax 1，则问题又转化为当x≥0时，g（x）≤g（0）.求a的取值范围.当x≥0时，只需g′（x）≤0，即1-e-x-x1ax 1′≤0，即e-x（ax 1）2-11（ax 1）2≤0，注意到分母（ax 1）2>0，故只需e-x（ax 1）2-1≤0，即（ax 1）2≤ex.
　　若a>0，∵x≥0，则ax 1>0，∴只需ax 1　　若a=0，（ax 1）2　　若a<0，x>-11a时x1ax 1<0，而此时f（x）≥0，
　　∴与f（x）≤x1ax 1矛盾.
　　综上，0≤a≤112为所求.
　　例4（2007福建理）f（x）=ex-kx，x∈R，若k>0，f（|x|）>0恒成立，求k的范围.
　　解由f（|-x|）=f（|x|）知f（|x|）为偶函数，于是f（|x|）>0对任意x∈R成立，即f（x）>0，即ex>kx对任x≥0成立.显然，g（x）=ex为凹函数，且g′（x）=ex，切线方程为y-ex0=ex0（x-x0）.当切线过原点时，x0=1此时切线方程为y=ex.
　　因此，只需e>k，∴0　　可见，“不等式”，即“等与不等”“数与形”水乳交融般和谐美的体现.我国著名数学家华罗庚对“数”与“形”之间的密切联系有过一段精彩的描述：“数与形本是相依，焉能分作两边飞，数缺形少直觉，形少数难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休，切莫忘，几何代数统一体，永远联系切莫分离.”寥寥数语，把“数形结合”之妙说得淋漓尽致.